a: Xét (O) có
ΔBDC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBDC vuông tại D
=>BD\(\perp\)DC tại D
=>BD\(\perp\)AC tại D
Xét ΔABC vuông tại B có BD là đường cao
nên \(AD\cdot AC=AB^2\)
b: Xét ΔBCE có
O là trung điểm của BC
OH//CE
Do đó: H là trung điểm của BE
Ta có: ΔOEB cân tại O
mà OH là đường trung tuyến
nên OH là phân giác của góc BOE
Xét ΔBOA và ΔEOA có
BO=EO
\(\widehat{BOA}=\widehat{EOA}\)
OA chung
Do đó: ΔBOA=ΔEOA
=>\(\widehat{OBA}=\widehat{OEA}\)
=>\(\widehat{OEA}=90^0\)
=>AE là tiếp tuyến của (O)
c: Xét ΔABO vuông tại B có BH là đường cao
nên \(AH\cdot AO=AB^2\)
=>\(AH\cdot AO=AD\cdot AC\)
=>\(\dfrac{AD}{AH}=\dfrac{AO}{AC}\)
Xét ΔADO và ΔAHC có
\(\dfrac{AD}{AH}=\dfrac{AO}{AC}\)
góc DAO chung
Do đó: ΔADO đồng dạng với ΔAHC
=>\(\dfrac{CA}{OA}=\dfrac{CH}{DO}\)
=>\(\dfrac{CA}{CH}=\dfrac{OA}{OD}=\dfrac{OA}{OB}\)
Xét ΔBAO vuông tại B và ΔHBO vuông tại H có
góc HOB chung
Do đó: ΔBAO đồng dạng với ΔHBO
=>\(\dfrac{BA}{BH}=\dfrac{OA}{OB}\)
=>\(\dfrac{CA}{CH}=\dfrac{BA}{BH}\)
Ta có: \(\widehat{ABF}+\widehat{OBF}=\widehat{OBA}=90^0\)
\(\widehat{HBF}+\widehat{OFB}=90^0\)(ΔHBF vuông tại H)
mà \(\widehat{OBF}=\widehat{OFB}\)
nên \(\widehat{ABF}=\widehat{HBF}\)
=>BF là phân giác của góc HBA
Xét ΔBHA có BF là phân giác
nên \(\dfrac{FA}{FH}=\dfrac{BA}{BH}\)
=>\(\dfrac{FA}{FH}=\dfrac{CA}{CH}\)
=>\(FA\cdot CH=FH\cdot CA\)
