a.
Do SA là tiếp tuyến của (O) \(\Rightarrow SA\perp AO\Rightarrow\widehat{SAO}=90^0\)
\(\Rightarrow\) 3 điểm S, A, O thuộc đường tròn đường kính SO
Tương tự ta có \(\widehat{SBO}=90^0\) nên 3 điểm S, B, O cùng thuộc đường tròn đường kính SO
\(\Rightarrow\) 4 điểm S, A, B, O cùng thuộc đường tròn đường kính SO
b.
Theo tính chất 2 tiếp tuyến đường tròn ta có \(SA=SB\)
Mà \(OA=OB=R\Rightarrow SO\) là trung trực của AB hay \(SO\perp AB\) tại M
Hay AM là đường cao ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông SAO
Áp dụng hệ thức lượng:
\(OA^2=OM.OS\Rightarrow OM.OS=R^2\) (do \(OA=R\))
c.
Theo cmt ta có SO là trung trực AB \(\Rightarrow SO\) là phân giác trong góc \(\widehat{ASB}\) (1)
N nằm trên SO \(\Rightarrow NA=NB\) (tính chất trung trực)
\(\Rightarrow\widehat{NAB}=\widehat{NBA}\) (hai góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)
Lại có \(\widehat{NBA}=\widehat{SAN}\) (góc nội tiếp và góc tiếp tuyến cùng chắn cung AN)
\(\Rightarrow\widehat{NAB}=\widehat{SAN}\Rightarrow AN\) là phân giác của \(\widehat{SAB}\) (2)
Từ (1);(2) \(\Rightarrow N\) là giao điểm 2 đường phân giác trong tam giác SAB nên N là tâm đường tròn nội tiếp tam giác SAB
d.
Gọi C là giao điểm của OH với AB.
Xét hai tam giác vuông MOC và HOS có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{O}\text{ chung}\\\widehat{CMO}=\widehat{SHO}=90^0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta MOC\sim\Delta HOS\) (g.g)
\(\Rightarrow\dfrac{OM}{OH}=\dfrac{OC}{OS}\Rightarrow OC.OH=OM.OS=R^2\) (theo câu b) \(\Rightarrow OC=\dfrac{R^2}{OH}\)
Mà H cố định \(\Rightarrow OH\) là hằng số \(\Rightarrow OC\) là hằng số hay C cố định
Lại có \(\Delta OMC\) vuông tại M \(\Rightarrow M\) thuộc đường tròn đường kính OC
Hay khi S di chuyển trên d thì M di chuyển trên đường tròn đường kính OC cố định.
