a: Ta có: E đối xứng H qua AC
=>AC là đường trung trực của HE
=>AC\(\perp\)HE tại P và P là trung điểm của HE
Ta có: E đối xứng K qua BC
=>BC là đường trung trực của EK
=>BC\(\perp\)EK tại Q và Q là trung điểm của EK
Xét (O) có
ΔACB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔACB vuông tại C
Xét tứ giác CPEQ có
\(\widehat{CPE}=\widehat{CQE}=\widehat{PCQ}=90^0\)
=>CPEQ là hình chữ nhật
b: Xét ΔCEA vuông tại E có EP là đường cao
nên \(CP\cdot CA=CE^2\left(1\right)\)
Xét ΔCEB vuông tại E có EQ là đường cao
nên \(CQ\cdot CB=CE^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(CP\cdot CA=CQ\cdot CB\)
c: Ta có: OC=OB
=>ΔOBC cân tại O
=>\(\widehat{OCB}=\widehat{OBC}\)
Ta có: CPEQ là hình chữ nhật
=>\(\widehat{CQP}=\widehat{CEP}\)
mà \(\widehat{CEP}=\widehat{CAB}\left(=90^0-\widehat{ACE}\right)\)
nên \(\widehat{CQP}=\widehat{CAB}\)
\(\widehat{OCQ}+\widehat{CQP}=\widehat{CAB}+\widehat{CBA}=90^0\)
=>OC\(\perp\)PQ
Xét ΔEHK có
P,Q lần lượt là trung điểm của EH,EK
=>PQ là đường trung bình của ΔEHK
=>PQ//HK
mà OC\(\perp\)PQ
nên OC\(\perp\)HK
=>HK là tiếp tuyến của (O)
