Gọi A(x,y); B(x,y) lần lượt là tọa độ giao điểm của (d3) với trục Ox và Oy
Tọa độ A là:
\(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\\left(m-1\right)x+2m-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=0\\\left(m-1\right)x=-2m+3\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\x=\dfrac{-2m+3}{m-1}\end{matrix}\right.\)
=>\(A\left(\dfrac{-2m+3}{m-1};0\right)\)
=>\(OA=\left|\dfrac{2m-3}{m-1}\right|\)
Tọa độ B là:
\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=\left(m-1\right)\cdot x+2m-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\left(m-1\right)+2m-3=2m-3\end{matrix}\right.\)
=>OB=|2m-3|
Kẻ OH vuông góc AB tại H
=>OH là khoảng cách từ O xuống (d3)
Xét ΔOAB vuông tại O có OH là đường cao
nên \(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}\)
=>\(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{\left(2m-3\right)^2}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{2m-3}{m-1}\right)^2}\)
=>\(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{\left(2m-3\right)^2}+\dfrac{\left(m-1\right)^2}{\left(2m-3\right)^2}=\dfrac{m^2-2m+2}{\left(2m-3\right)^2}\)
Để OH=2 thì \(\dfrac{m^2-2m+2}{\left(2m-3\right)^2}=\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{4}\)
=>\(\left(2m-3\right)^2=4\left(m^2-2m+2\right)\)
=>\(4m^2-12m+9=4m^2-8m+8\)
=>-12m+9=-8m+8
=>-4m=-1
=>m=1/4
