Bài 2a.
Đặt $a-1=x, b-2=y, c-3=z$ với $x,y,z$ nguyên thì:
$x+y=a+b-3=c-3=z$
Khi đó: $A=(a-1)^3+(b-2)^3+2021(c-3)^3=x^3+y^3+2021z^3=(x+y)^3-3xy(x+y)+2021z^3$
$=z^3-3xy(x+y)+2021z^3=2022z^3-3xy(x+y)=2022(x+y)^3-3xy(x+y)=3(x+y)[674(x+y)^2-xy]\vdots 3(1)$
Mặt khác:
Nếu $x+y$ chẵn thì hiển nhiên $A\vdots 2$.
Nếu $x+y$ lẻ thì $x,y$ khác tính chẵn lẻ. Tức là 1 trong 2 số $x,y$ sẽ có 1 số chẵn 1 số lẻ
$\Rightarrow xy\vdots 2\Rightarrow 674(x+y)^2-xy\vdots 2\Rightarrow A\vdots 2$
Vậy $A\vdots 2(2)$
Từ $(1); (2)$ mà $(2,3)=1$ nên $A\vdots 6$
2b.
$x^2-y^2+2x=-6$
$\Leftrightarrow (x^2+2x+1)-y^2=-5$
$\Leftrightarrow (x+1)^2-y^2=-5$
$\Leftrightarrow (x+1-y)(x+1+y)=-5$
Vì $x,y$ nguyên dương nên $x+1-y$ nguyên và $x+1+y$ nguyên dương. Do đó ta có các TH sau:
TH1: $x+1+y=1, x+1-y=-5$
$\Rightarrow y=3; x=-3$ (loại vì $x$ dương)
TH2: $x+1+y=5, x+1-y=-1$
$\Rightarrow y=3; x=1$ (tm)
