Để biến đổi các biểu thức trong dấu căn thành bình phương một tổng hay một hiệu, ta cần tìm các số \(a\) và \(b\) sao cho:
\[ a \pm \sqrt{b} = \sqrt{11-2 \sqrt{30}}\]
\[ a^{2} \pm 2a\sqrt{b} + b = 11-2 \sqrt{30} \]
So sánh từng phần tử của hai phía biểu thức trên, ta có hệ phương trình:
\[ a^{2} + b = 11 \]
\[ 2a\sqrt{b} = -2\sqrt{30} \]
Từ phương trình thứ hai, ta có \(a=-\sqrt{30}\). Thay \(a\) vào phương trình đầu tiên, ta có \(b=1\).
Vậy, ta có \(\sqrt{11-2 \sqrt{30}} = -\sqrt{30} + \sqrt{1} = -\sqrt{30} + 1\).
Áp dụng hằng đẳng thức cho \(\sqrt{a^{2}}=|a|\), ta có:
\[ \sqrt{11-2 \sqrt{30}} = \sqrt{(-\sqrt{30})^{2}} = |- \sqrt{30}| = \sqrt{30} \]
Vậy kết quả là \(\sqrt{11-2 \sqrt{30}} = \sqrt{30}\).
