Do \(-1\le a;b;c\le2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a+1\right)\left(a-2\right)\le0\\\left(b+1\right)\left(b-2\right)\le0\\\left(c+1\right)\left(c-2\right)\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2\le a+2\\b^2\le b+2\\c^2\le c+2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le a+b+c+6=6\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(-1;-1;2\right)\) và các hoán vị
Ta có -1 \(\le a\le2\)
<=> ( a + 1)(2 - a) \(\ge0\)
<=> -a2 + a + 2 \(\ge0\)
<=> a2 \(\le\) a + 2
Tương tự ta được b2 \(\le b+2;c^2\le c+2\)
Cộng vế với vế được a2 + b2 + c2 \(\le a+b+c+6=6\)
Dấu "=" xảy ra <=> (a ; b ; c) = (2 ; -1 ; -1) và các hoán vị