1. Áp dụng BĐT Côsi, ta có:
(a^2 + 1)(b^2 + 1)(c^2 + 1) >= 2a.2b.2c = 8abc = 8 (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1.
2. Áp dụng BĐT Côsi, ta có:
(a^3 + 2)(b^3 + 2)(c^3 + 2) = (a^3 + 1 + 1)(b^3 + 1 + 1)(c^3 + 1 + 1) >= 3a.3b.3c = 27abc = 27 (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1.
1: \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+1\ge2a\\b^2+1\ge2b\\c^2+1\ge2c\end{matrix}\right.\)
Do đó: \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge8\)
3. Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz dạng Engel, ta có:
a^3/b + b^3/c + c^3/a = a^4/(ab) + b^4/(bc) + c^4/(ac) >= (a^2 + b^2 + c^2)^2/(ab + bc + ac) >= (ab + bc + ac)^2/(ab + bc + ac) = ab + bc + ac (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
4. Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz dạng Engel, ta có:
a^2/(a + 3b) + b^2/(b + 3c) + c^2/(c + 3a) >= (a + b + c)^2/(a + 3b + b + 3c + c + 3a) = (a + b + c)/4 (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
