Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Adu vip
Hồng Phúc
25 tháng 8 2021 lúc 10:25

ĐK: \(x\ge1\)

\(\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8+6\sqrt{x-1}}=5\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1-4\sqrt{x-1}+4}+\sqrt{x-1+6\sqrt{x-1}+9}=5\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-2\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-1}+3\right)^2}=5\)

\(\Leftrightarrow\left|\sqrt{x-1}-2\right|+\left|\sqrt{x-1}+3\right|=5\)

\(\Leftrightarrow\left|2-\sqrt{x-1}\right|+\left|\sqrt{x-1}+3\right|=5\)

Ta thấy: \(\left|2-\sqrt{x-1}\right|+\left|\sqrt{x-1}+3\right|\ge\left|2-\sqrt{x-1}+\sqrt{x-1}+3\right|=5\)

Đẳng thức xảy ra khi:

\(\left(2-\sqrt{x-1}\right)\left(\sqrt{x-1}+3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow x\le5\)

Vậy phương trình đã cho có vô số nghiệm thỏa mãn \(x\in\left[1;5\right]\)

ILoveMath
25 tháng 8 2021 lúc 10:32

ĐKXĐ:\(\left\{{}\begin{matrix}x-1\ge0\\x+3-4\sqrt{x-1}\ge0\\x+8+6\sqrt{x-1}\ge0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge1\\x+3-4\sqrt{x-1}\ge0\\x+8+6\sqrt{x-1}\ge0\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\sqrt{x-1}=a\ge0\Rightarrow x-1=a^2\Rightarrow x=a^2+1\)

\(\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8+6\sqrt{x-1}}=5\)

\(\Rightarrow\sqrt{a^2+4-4\sqrt{a^2}}+\sqrt{a^2+9+6\sqrt{a^2}}=5\)

\(\Rightarrow\sqrt{a^2+4-4a}+\sqrt{a^2+9+6a}=5\)

\(\Rightarrow\sqrt{\left(a-2\right)^2}+\sqrt{\left(a+3\right)^2}=5\)

\(\Rightarrow\left|a-2\right|+a+3=5\)

TH1: \(1\le a\le2\)

\(\Rightarrow-a+2+a+3=5\)

\(\Rightarrow5=5\)(thỏa mãn với mọi 1≤a≤2)

TH2: \(a>2\)

\(\Rightarrow a-2+a+3=5\\ \Rightarrow2a+1=5\\ \Rightarrow2a=4\)

\(\Rightarrow a=2\)(loại vì a>2)

\(\Rightarrow1\le\sqrt{x-1}\le2\\ \Rightarrow1\le x-1\le2\\ \Rightarrow2\le x\le3\)

Nhan Thanh
25 tháng 8 2021 lúc 10:34

\(\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8+6\sqrt{x-1}}=5\) (*)

ĐKXĐ: \(x\ge1\)

(*) \(\Rightarrow\sqrt{x-1-4\sqrt{x-1}+4}+\sqrt{x-1+6\sqrt{x-1}+9}=5\)

\(\Rightarrow\sqrt{\left(x-1-4\right)^2}+\sqrt{\left(x-1+3\right)^2}=5\)

\(\Rightarrow\left|x-5\right|+\left|x+2\right|=5\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}-\left(x-5\right)-\left(x+2\right)=5\\-\left(x-5\right)+\left(x+2\right)=5\\\left(x-5\right)+\left(x+2\right)=5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}-2x+3=5\\7=5\\2x-3=5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=4\)

Vậy \(S=\left\{4\right\}\)