d)
ĐKXĐ: \(x\ge0\)
Ta có: \(D=\dfrac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+1}\)
\(=1+\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}\)
Ta có: \(\sqrt{x}+1\ge1\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ
\(\Leftrightarrow\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}\le3\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ
\(\Leftrightarrow\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}+1\le4\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ
Dấu '=' xảy ra khi x=0
Vậy: \(D_{max}=4\) khi x=0
1.
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
$x+1\geq 2\sqrt{x}$
$\Rightarrow x-\sqrt{x}+1\geq \sqrt{x}$
$\Rightarrow A=\frac{\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}\leq \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=1$
Vậy GTLN của $A$ là $1$. Giá trị này đạt tại $x=1$
3.
Áp dụng BĐT Cô-si:
$x+16\geq 2\sqrt{16x}=8\sqrt{x}$
$\Rightarrow C=\frac{\sqrt{x}}{x+16}\leq \frac{\sqrt{x}}{8\sqrt{x}}=\frac{1}{8}$
Vậy $C_{\max}=\frac{1}{8}$. Giá trị này đạt tại $x=16$
2.
Với $0\leq x\leq 1$ thì $B\leq 0(1)$
Với $x>1$:
\(\frac{1}{B}=\frac{x+10}{\sqrt{x}-1}=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)+\sqrt{x}-1+11}{\sqrt{x}-1}=\sqrt{x}+1+\frac{11}{\sqrt{x}-1}\)
\(=(\sqrt{x}-1)+\frac{11}{\sqrt{x}-1}+2\geq 2\sqrt{11}+2\) (theo BĐT Cô-si)
\(\Rightarrow B\leq \frac{-1+\sqrt{11}}{20}\)$(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow B_{\max}=\frac{-1+\sqrt{11}}{20}$ khi $x=12+2\sqrt{11}$
4.
$D=1+\frac{3}{\sqrt{x}+1}$
Vì $\sqrt{x}\geq 0\Rightarrow \sqrt{x}+1\geq 1$
$\Rightarrow D=1+\frac{3}{\sqrt{x}+1}\leq 1+3=4$
Vậy GTLN của $D$ là $4$. Giá trị này đạt tại $x=0$
