Toán

Làm bài hình thôi nhé, dài ngán quá:

a.

Do E và D cùng nhìn AD dưới 1 góc vuông \(\Rightarrow ADHE\) nội tiếp

b.

H là giao điểm 2 đường cao BE, CE nên H là trực tâm tam giác ABC

\(\Rightarrow AK\) là đường cao thứ 3 \(\Rightarrow AK\perp BC\)

D và E cùng nhìn BC dưới 1 góc vuông \(\Rightarrow BEDC\) nội tiếp đường tròn đường kính BC

Mà M là trung điểm BC \(\Rightarrow M\) là tâm đường tròn ngoại tiếp BEDC

Ta có: \(\widehat{DME}=2\widehat{DBE}\) (góc nt và góc ở tâm cùng chắn DE) (1)

E và K cùng nhìn BH dưới 1 góc vuông \(\Rightarrow BEHK\) nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{DBE}=\widehat{EKH}\) (cùng chắn EH)

D và K cùng nhìn AB dưới 1 góc vuông \(\Rightarrow ABKD\) nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{DBE}=\widehat{DKA}\) (cùng chắn AD)

\(\Rightarrow\widehat{EKH}=\widehat{DKA}=\widehat{DBE}\)

Mà \(\widehat{EKH}+\widehat{DKA}=\widehat{DKE}\)

\(\Rightarrow\widehat{DKE}=2\widehat{DBE}\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow\widehat{DKE}=\widehat{DME}\)

Mà K, M cùng nằm về 1 nửa mp bờ DE \(\Rightarrow DEKM\) nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{DEK}+\widehat{DMK}=180^0\)

Mà \(\widehat{DMK}+\widehat{DMC}=180^0\) (kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{DEK}=\widehat{DMC}\) (đpcm)

Ý sau còn dài gấp đôi.

Chứng minh NH vuông góc AM:

Kẻ đường kính AG của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi F là giao của AN là đường tròn ngoại tiếp ABC.

\(\Rightarrow\widehat{ACG}\) là góc nt chắn nửa đường tròn \(\Rightarrow\widehat{ACG}=90^0\)

\(\Rightarrow CG\perp AC\) \(\Rightarrow CG||BH\) (cùng vuông góc AC)

Hoàn toàn tương tự ta có \(BG||CH\) (cùng vuông góc AB)

\(\Rightarrow BHCG\) là hình bình hành (2 cặp canh đối song song)

\(\Rightarrow BC;HG\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Mà M là trung điểm BC \(\Rightarrow M\in HG\)

BCDE nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{NCD}+\widehat{BED}=180^0\)

Mà \(\widehat{BED}+\widehat{NEB}=180^0\) (kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{NCD}=\widehat{NEB}\)

Xét hai tam giác NCD và NEB có: 

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{CND}-chung\\\widehat{NCD}=\widehat{NEB}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta NCD\sim\Delta NEB\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{NC}{NE}=\dfrac{ND}{NB}\Rightarrow NB.NC=NE.ND\)

Tương tự AFBC nội tiếp nên \(\widehat{NBF}=\widehat{NAC}\) (cùng bù \(\widehat{FBC}\))

\(\Rightarrow\Delta NBF\sim\Delta NAC\Rightarrow\dfrac{NB}{NA}=\dfrac{NF}{NC}\Rightarrow NB.NC=NA.NF\)

\(\Rightarrow NE.ND=NA.NF\Rightarrow\dfrac{NE}{NA}=\dfrac{NF}{ND}\)

Xét hai tam giác NEF và NAD có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{N}-chung\\\dfrac{NE}{NA}=\dfrac{NF}{ND}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta NEF\sim\Delta NAD\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{NEF}=\widehat{NAD}\)

Mà \(\widehat{NEF}+\widehat{DEF}=180^0\Rightarrow\widehat{NAD}+\widehat{DEF}=180^0\)

\(\Rightarrow ADEF\) nội tiếp

Kết hợp câu a \(\Rightarrow A,D,H,E,F\) cùng thuộc 1 đường tròn

\(\Rightarrow\widehat{AFH}=\widehat{AEH}=90^0\)

\(\Rightarrow AF\perp HF\) (1)

Lại có \(\widehat{AFG}=90^0\) (góc nt chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow AF\perp GF\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow H,G,F\) thẳng hàng \(\Rightarrow HG\perp AF\)

Mà M thuộc HG theo cmt \(\Rightarrow MH\perp AF\)

Trong tam giác ANM, ta có 2 đường cao MF và AK cắt nhau tại H

\(\Rightarrow H\) là trực tâm tam giác ANM

\(\Rightarrow NH\) là đường cao thứ 3

\(\Rightarrow NH\perp AM\)

a: Thay x=2 vào phương trình, ta được:

\(2m+1=2-1=1\)

=>2m=0

=>m=0

b: Thay x=-3 vào phương trình, ta được:

\(-3m-\left(-3\right)-m+2=0\)

=>-4m+3+2=0

=>-4m=-5

=>\(m=\dfrac{5}{4}\)

c: Thay x=1/2 vào phương trình, ta được:

\(m\left(2\cdot\dfrac{1}{2}+1\right)=\dfrac{1}{2}\left(m+2\right)+2\)

=>\(2m=\dfrac{1}{2}m+1+2\)

=>\(\dfrac{3}{2}m=3\)

=>m=2

d: Thay x=2 vào phương trình, ta được:

\(\left(m+3\cdot2\right)\left(2+1\right)-4\left(1+2\cdot2\right)=80\)

=>3(m+6)=80+4*5=100

=>m+6=100/3

=>\(m=\dfrac{100}{3}-6=\dfrac{82}{3}\)

\(S_{A'B'C'}=S_1=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\) ; \(S_2=S_{ABC}=\dfrac{\left(4a\right)^2.\sqrt{3}}{4}=4a^2\sqrt{3}\)

Em có thể áp dụng công thức tính nhanh:

\(V=\dfrac{h\left(S_1+S_2+\sqrt{S_1S_2}\right)}{3}=\dfrac{21a^3\sqrt{3}}{4}\)

a: Xét ΔNME và ΔNFE có

NM=NF

\(\widehat{MNE}=\widehat{FNE}\)

NE chung

Do đó: ΔNME=ΔNFE

b: Xét ΔMEN có \(\widehat{NEP}\) là góc ngoài tại E

nên \(\widehat{NEP}=\widehat{ENM}+\widehat{EMN}=90^0+\widehat{ENM}>90^0\)

Xét ΔNEP có \(\widehat{NEP}>90^0\)

nên NP là cạnh lớn nhất của ΔNEP

=>NP>NE

c:

ΔNME=ΔNFE

=>\(\widehat{NME}=\widehat{NFE}=90^0\)

Xét ΔNFG vuông tại F và ΔNMP vuông tại M có

NF=NM

\(\widehat{FNG}\) chung

Do đó: ΔNFG~ΔNMP

=>NG=NP

Góc giữa 2 đường thẳng luôn là 1 góc không tù em

Nên khi tính cos phải lấy trị tuyệt đối (cách trắc nghiệm là khỏi trị tuyệt đối, cứ tính thẳng ra, nhỏ hơn 90 độ thì lấy, mà lớn hơn 90 độ thì lấy 180 độ trừ kết quả => đáp án đúng)