Câu 3:

Xét ΔABC có \(cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab};cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\)

\(b\cdot cosC+c\cdot cosB=a\)

=>\(a=b\cdot\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+c\cdot\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2a}+\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}=\frac{2a^2}{2a}=a\) (luôn đúng)

=>góc A có thể có bất kì số đo nào trong khoảng (\(0^0;180^0\) )

\(\tan^2x\cdot\sin^2x-\tan^2x-\sin\left(90^0-x\right)\cdot cos\left(180^0-x\right)\)

\(=\tan^2x\left(\sin^2x-1\right)-cosx\cdot\left(-cosx\right)\)

\(=\tan^2x\cdot\left(-cos^2x\right)+cos^2x=-\sin^2x+cos^2x=cos2x\)

`tan^2 x * sin^2 x - tan^2 x - sin(90^0 -x)*cos(180^0-x)`

`= tan^2 x*(sin^2 x -1) - cosx * (-cos x)`

`= -tan^2 x*(1- sin^2 x) + cos^2 x`

`= -tan^2 x * cos^2 x + cos^2 x`

`= -(sin^2 x)/(cos^2 x) *cos^2 x + cos^2 x`

`= cos^2 x - sin^2 x`

`= cos2x`

Ta rút gọn từng phần của biểu thức như sau: Phần 1: tan^2(x) . sin^2(x) - tan^2(x) • Đặt tan^2(x) làm nhân tử chung ra ngoài: = tan^2(x) . [sin^2(x) - 1] • Vì sin^2(x) + cos^2(x) = 1 nên sin^2(x) - 1 = -cos^2(x). Thay vào ta được: = tan^2(x) . [-cos^2(x)] • Mặt khác, tan^2(x) = sin^2(x) / cos^2(x). Do đó: = [sin^2(x) / cos^2(x)] . [-cos^2(x)] = -sin^2(x) Phần 2: sin(90° - x) . cos(180° - x) • Theo công thức góc phụ nhau: sin(90° - x) = cos(x) • Theo công thức góc bù nhau: cos(180° - x) = -cos(x) • Nhân hai kết quả lại với nhau ta được: = cos(x) . [-cos(x)] = -cos^2(x) Rút gọn toàn bộ biểu thức: Thay hai phần vừa rút gọn vào biểu thức ban đầu, ta được: = [-sin^2(x)] - [-cos^2(x)] = -sin^2(x) + cos^2(x) = cos^2(x) - sin^2(x) = cos(2x) Kết quả cuối cùng: cos(2x)

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.

Vì $G$ là trọng tâm nên $AG=\dfrac23AM.$

Theo định lý Apollonius trong tam giác $ABC$, ta có

$AB^2+AC^2=2AM^2+\dfrac12BC^2.$

Suy ra $AM^2=\dfrac{2AB^2+2AC^2-BC^2}{4}$$=\dfrac{2c^2+2b^2-a^2}{4}.$

Do đó $GA^2=\dfrac49AM^2$$=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{9}.$

Tương tự $GB^2=\dfrac{2a^2+2c^2-b^2}{9},$

$GC^2=\dfrac{2a^2+2b^2-c^2}{9}.$

Cộng ba đẳng thức trên:

$GA^2+GB^2+GC^2$

$=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2+2a^2+2c^2-b^2+2a^2+2b^2-c^2}{9}$

$=\dfrac{3a^2+3b^2+3c^2}{9}$

$=\dfrac13(a^2+b^2+c^2).$

Vậy $GA^2+GB^2+GC^2=\dfrac13(a^2+b^2+c^2).$

Mọi người đừng làm nhé,mình gửi ảnh mà wed làm thành bài nào lớp `10` đó nhé!

Bài mình gửi là này này nhé,mọi người xem giúp mình !

`a)` Gọi `G` là điểm đối xứng của `E` qua `P`

Khi đó `DG = 2PM`

Có `(DH)/(OP) = (AD)/(AP) = (DA . DP)/(PD . PA) = (DB . DC)/(PB^2) = (DB . DC)/(PB^2) = (DB . DC)/(PM . 2R)`

`->DH = (DB . DC)/(2PM) = (DB . DC)/(DG)`

`->DH . DG = DB . DC`

`->` Bốn điểm `B, H, C, G` đồng viên (1)

Do `M` là trung điểm `BC` nên `OM⊥BC`

Mà `E` đối xứng với `D` qua `M`

`G` đối xứng với `E` qua `P`

`->G,F` đối xứng qua `OM`

`->{(GF⊥OM),(BC⊥OM):}`

`->GF` // `BC`

`->` Tgiác `BGFC` là một hình thang

Do `G,F` đối xứng `OM->\hat(GBC) = \hat(FCB)`

`->` Tgiác `BGFC` là hình thang cân

`->` Bốn điểm `B, G, F, C` đồng viên (2)

Từ (1),(2) `->` Bốn điểm `B, H, F, C` đồng viên

`b)` Gọi `Q'=` Tiếp tuyến tại `A∩BC`

Có `DT . DF = DH . DG`

`->` Tứ giác `THFG` nội tiếp

`->\hat(HTD) = 90^o`

Có `{(\hat(Q'DA) = \hat(ACD) + \hat(CAD)),(\hat(Q'AB) = \hat(ACD)),(\hat(BAD) = \hat(CAD)):}`

`->\hat(Q'AB) + \hat(BAD) = \hat(ACD) + \hat(CAD)`

`->\hat(Q'AD) = \hat(Q'DA)`

`->DeltaQ'AD` cân

`->Q'A = Q'D`

Do `DeltaAHD` cân nên `DeltaAHT=DeltaDHT` (c.g.c)

`->TA=TD`

Mà `HA = HD` và `T` là trung điểm của `AD`

`->H, T, Q'` thẳng hàng

Lại có `\hat(Q'TD) = \hat(QMP) = 90^o `

`->Q'∈(MTP)`

`-> Q≡Q'` (đpcm)

Bạn thử để ngày mai vô xem, tại app mới lên điểm dễ bị lỗi lắm

em cảm ơn thầy giáo ạ ☺

cảm ơn các thầy

E cảm ơn thầy nhiều ạ!

Gọi cụm 1,2,3 đứng cạnh nhau theo thứ tự tăng dần là một khối 123
Ta cần chọn thêm 2 chữ số khác từ 0,4,5,6,7,8,9
Trường hợp không chọn 0: chọn 2 số từ 6 số có C(6,2)=15 cách, sắp xếp với khối 123 có 3! = 6 cách, được 15.6 = 90 số
Trường hợp có chọn 0: chọn thêm 1 số từ 6 số có 6 cách, sắp xếp 0, số đó và khối 123 có 3! = 6 cách, nhưng 0 đứng đầu có 2 cách không hợp lệ, còn 4 cách, được 6.4 = 24 số
Vậy có 90 + 24 = 114 số