Ngô Thành Chung
Ngô Thành Chung 7 giờ trước (22:21)

Ta thấy d1 // ddo chúng có cùng vecto pháp tuyến là

\(\overrightarrow{n}=\left(2;3\right)\)

d đối xứng với d1 qua d2 ⇒ d // d1 // d(1)

d đi qua đầu mút còn lại của một đoạn thẳng có một đầu mút nằm trên d1 và trung điểm của đoạn thẳng ấy nằm trên d(2)

(1) ⇒ d có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=\left(2;3\right)\)

Gọi M (1; 1) ∈ d1 và N (1; -1) ∈ d2. Gọi giao điểm của MN với d là P

Từ (2) ⇒ N là trung điểm của MP

⇒ P(1; -3)

Vậy d đi qua P(1; -3) và có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=\left(2;3\right)\)

⇒ Phương trình của d là : 2 (x - 1) + 3 (y + 3) = 0

hay 2x + 3y + 7 = 0

Bình luận (0)
Tan Thuy Hoang
Tan Thuy Hoang CTV 9 giờ trước (20:17)

Ta có: \(\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)=c^2-\left(a-b\right)^2\le c^2\);

\(\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)=a^2-\left(b-c\right)^2\le a^2\);

\(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)=b^2-\left(c-a\right)^2\le b^2\).

Nhân vế với vế của các bđt trên với chú ý a + b - c > 0; b + c - a > 0; c + a - b > 0 ta có:

\(\left[\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\right]^2\le\left(abc\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le abc\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Mở rộng: Nếu a, b, c là các số thực không âm thì bđt đó vẫn đúng.

Bình luận (0)
Nguyễn Lê Phước Thịnh
Nguyễn Lê Phước Thịnh CTV 9 giờ trước (20:24)

Đặt b+c-a=2x; c+a-b=2y; a+b-c=2z

hay \(a=y+z;b=x+z;c=x+y\) và \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{b+c-a}{2}\\y=\dfrac{c+a-b}{2}\\z=\dfrac{a+b-c}{2}\end{matrix}\right.\)

Áp dụng BĐT Cosi, ta được: 

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y\ge2\sqrt{xy}\\y+z\ge2\sqrt{yz}\\x+z\ge2\sqrt{xz}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge8xyz\)

\(\Leftrightarrow abc\ge8\cdot\dfrac{b+c-a}{2}\cdot\dfrac{c+a-b}{2}\cdot\dfrac{a+b-c}{2}\)

\(\Leftrightarrow abc\ge\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)\le abc\)(đpcm)

Bình luận (0)
Tan Thuy Hoang
Tan Thuy Hoang CTV 9 giờ trước (20:19)

BĐT \(\Leftrightarrow a^3-b^3+a^2b-ab^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)+ab\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)^2\ge0\) (luôn đúng do \(a\geq b\)).

 

Bình luận (0)
Trần Nhật Quỳnh
Trần Nhật Quỳnh 10 giờ trước (20:09)

x2 > 2( x - 1 )

<=> x2 - 2x + 2 > 0

<=> ( x2 - 2x + 1 ) + 1 > 0

<=> ( x - 1 )2 + 1 > 0 ( luôn đúng ∀ x ∈ R )

Vậy bđt ban đầu được chứng minh

Bình luận (0)
Tan Thuy Hoang
Tan Thuy Hoang CTV 9 giờ trước (20:22)

Áp dụng bđt AM - GM:

\(P=3a+3b-1+\left[\left(a+1\right)+b+\dfrac{c^3}{b\left(a+1\right)}\right]\ge3a+3b-1+3c=3.5-1=14\).

Đẳng thức xảy ra khi a = 1; b = 2; c = 2.

Vậy Min P = 14 khi a = 1; b = 2; c = 2.

Bình luận (0)

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN