C thuộc đường thẳng y-4=0

=>C(x;4)

G là trọng tâm của ΔABC

=>\(\begin{cases}x_{A}+x_{B}+x_{C}=3\cdot x_{G}\\ y_{A}+y_{B}+y_{C}=3\cdot y_{G}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}3\cdot x_{G}=1+5+x=x+6\\ y_{G}\cdot3=4+1+\left(-2\right)=4-1=3\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x_{G}=\frac{x+6}{3}\\ y_{G}=1\end{cases}\)

G thuộc đường thẳng 3x-2y+6=0

=>\(3\cdot\frac{x+6}{3}-2\cdot1+6=0\)

=>x+6-2+6=0

=>x+10=0

=>x=-10

=>C(-10;4)

A(1;1); B(5;-2); C(-10;4)

\(AB=\sqrt{\left(5-1\right)^2+\left(-2-1\right)^2}=5\)

\(AC=\sqrt{\left(-10-1\right)^2+\left(4-1\right)^2}=\sqrt{130}\)

\(BC=\sqrt{\left(-10-5\right)^2+\left(4+2\right)^2}=3\sqrt{29}\)

Xét ΔABC có \(cosBAC=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{25+130-261}{2\cdot5\cdot\sqrt{130}}=\frac{-53}{5\sqrt{130}}\)

=>\(\sin BAC=\sqrt{1-\left(-\frac{53}{5\sqrt{130}}\right)^2}=\frac{21}{5\sqrt{130}}\)

Diện tích tam giác BAC là:

\(S_{BAC}=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin BAC=\frac12\cdot\frac{21}{5\sqrt{130}}\cdot5\cdot\sqrt{130}=\frac{21}{2}\)

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(3x^2-2x-1=\dfrac{1}{2}x+3m+2\)

=>\(3x^2-2x-1-\dfrac{1}{2}x-3m-2=0\)

=>\(3x^2-\dfrac{5}{2}x-3m-3=0\)

=>\(6x^2-5x-6m-6=0\)

\(\text{Δ}=\left(-5\right)^2-4\cdot6\cdot\left(-6m-6\right)\)

\(=25+24\left(6m+6\right)=25+144m+144\)

=144m+169

Để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt thì Δ>0

=>144m+169>0

=>144m>-169

=>\(m>-\dfrac{169}{144}\)

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{5}{6}\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-6m-6}{6}=-m-1\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+x_2^2=3\cdot\left(x_1+x_2\right)\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=3\left(x_1+x_2\right)\)

=>\(\left(\dfrac{5}{6}\right)^2-2\left(-m-1\right)=3\cdot\dfrac{5}{6}\)

=>\(\dfrac{25}{36}+2m+2=\dfrac{5}{2}\)

=>\(2m=\dfrac{5}{2}-2-\dfrac{25}{36}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{25}{36}=\dfrac{18}{36}-\dfrac{25}{36}=-\dfrac{7}{36}\)

=>m=-7/72(nhận)

20 cm = 0,2 m

22 cm =0,22 m

Khi vật cân bằng :\(\overrightarrow{Fđh}+\overrightarrow{P}=\overrightarrow{0}\)

Độ lớn : \(Fđh=P\)

\(\Leftrightarrow k.\left(l-lo\right)=mg\)

\(\Leftrightarrow k=\frac{mg}{l-lo}=\frac{0,5.9,8}{0,22-0,2}=245\left(\frac{N}{m}\right)\)

b) Độ dài lò xo lúc này bé hơn lúc đầu => Lò xo bị nén

Khi vật cân bằng: \(\overrightarrow{Fđh}+\overrightarrow{P}+\overrightarrow{F}=0\)

Chọn chiều dương hướng lên

=> \(F-Fđh-P=0\)

\(\Leftrightarrow F=Fđh+P\)

\(\Leftrightarrow F=k\left(lo-l2\right)+mg=245\left(0,2-0,19\right)+0,5.9,8=7,35\left(N\right)\)

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(3x^2-2x-1=\frac12x+3m+2\)

=>\(6x^2-4x-2=x+6m+4\)

=>\(6x^2-5x-6m-6=0\)

\(\Delta=\left(-5\right)^2-4\cdot6\cdot\left(-6m-6\right)=25+24\left(6m+6\right)=25+144m+144=144m+169\)

Để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt thì Δ>0

=>144m+169>0

=>144m>-169

=>\(m>-\frac{169}{144}\)

Theo Vi-et, ta có: \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac56;x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-6m-6}{6}=-m-1\)

\(x_1^2+x_2^2=3\cdot\left(x_1+x_2\right)\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=3\left(x_1+x_2\right)\)

=>\(\left(\frac56\right)^2-2\left(-m-1\right)=3\cdot\frac56\)

=>\(\frac{25}{36}+2\left(m+1\right)=\frac52\)

=>\(2\left(m+1\right)=\frac52-\frac{25}{36}=\frac{90}{36}-\frac{25}{36}=\frac{65}{36}\)

=>\(m+1=\frac{65}{72}\)

=>\(m=\frac{65}{72}-1=-\frac{7}{72}\) (nhận)

TH1: m=0

Bất phương trình sẽ trở thành:

\(0\cdot x^2-4\cdot\left(0+1\right)x+0-5< 0\)

=>-4x-5<0

=>-4x<5

=>\(x>-\dfrac{5}{4}\)

=>Bất phương trình không vô nghiệm

=>Loại

TH2: \(m\ne0\)

\(\text{Δ}=\left[-4\left(m+1\right)\right]^2-4m\left(m-5\right)\)

\(=16\left(m+1\right)^2-4m\left(m-5\right)\)

\(=16m^2+32m+16-4m^2+20m\)

\(=12m^2+52m+16\)

\(=4\left(3m^2+13m+4\right)\)

\(=4\left(3m^2+12m+m+4\right)\)

\(=4\left(m+4\right)\left(3m+1\right)\)

Để bất phương trình vô nghiệm thì \(\left\{{}\begin{matrix}\text{Δ}< =0\\a>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4\left(m+4\right)\left(3m+1\right)< =0\\m>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left(m+4\right)\left(3m+1\right)< =0\\m>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-4< =m< =-\dfrac{1}{3}\\m>0\end{matrix}\right.\)

=>\(m\in\varnothing\)

Vậy: Không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu đề bài

Tọa độ đỉnh của đồ thị hàm số f(x) là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{-\left(-3\right)}{2\cdot1}=\dfrac{3}{2}\\y=-\dfrac{b^2-4ac}{4a}=-\dfrac{\left(-3\right)^2-4\cdot1\cdot1}{4}=-\dfrac{5}{4}\end{matrix}\right.\)

Vì a=1>0 nên f(x) đồng biến khi x>3 và nghịch biến khi x<3/2

\(f\left(\dfrac{3}{2}\right)=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2-3\cdot\dfrac{3}{2}+1=\dfrac{9}{4}-\dfrac{9}{2}+1=\dfrac{9}{4}-\dfrac{7}{2}=\dfrac{9}{4}-\dfrac{14}{4}=-\dfrac{5}{4}\)

\(f\left(4\right)=4^2-3\cdot4+1=16-12+1=4+1=5\)

\(f\left(0\right)=0^2-3\cdot0+1=1\)

=>\(M=5;m=-\dfrac{5}{4}\)

Ta có: \(\left(x^2-3x+2\right)\left(-x^2+5x-6\right)>=0\)

=>\(\left(x^2-3x+2\right)\left(x^2-5x+6\right)< =0\)

=>\(\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)< =0\)

=>\(\left(x-1\right)\left(x-3\right)\cdot\left(x-2\right)^2< =0\)

TH1: \(\left(x-1\right)\left(x-3\right)\left(x-2\right)^2=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\x-3=0\\x-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=3\\x=2\end{matrix}\right.\)

TH2: \(\left(x-1\right)\left(x-3\right)\left(x-2\right)^2< 0\)

mà \(\left(x-2\right)^2>=0\forall x\)

nên \(\left(x-1\right)\left(x-3\right)< 0\)

=>1<x<3

Do đó: 1<=x<=3

=>a=1;b=3

a+b=4

\(\Delta=\left(-2\right)^2-4\left(m-5\right)=4-4m+20=-4m+24\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì -4m+24>0

=>-4m>-24

=>m<6

Theo Vi-et, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m-5\end{matrix}\right.\)

\(x_1x_2=-8\)

=>m-5=-8

=>m=-8+5=-3(nhận)

=>\(x_1x_2=-3-5=-8\)

Thay m=-3 vào phương trình, ta được:

\(x^2-2x-3-5=0\)

=>(x-5)(x+3)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x-5=0\\x+3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=-3\end{matrix}\right.\)

=>Phương trình có 1 nghiệm nguyên âm