Question

Tìm tất cả các đã thức P(x) sao cho \(xP\left(x-1\right)=\left(x-2018\right)P\left(x\right)\) với mọi x thuộc R.

Answer 1

Lời giải:

Cho $x=0$ thì \(0P(-1)=-2018P(0)\Rightarrow P(0)=0\)

Cho $x=1$ thì \((1-2018)P(1)=1P(0)=1.0=0\Rightarrow P(1)=0\)

Cho $x=2$ thì \((2-2018)P(2)=2P(1)=2.0=0\Rightarrow P(2)=0\)

.........

Cho đến $x=2017$ ta thu được:
\(P(0)=P(1)=.....=P(2017)=0\), hay đa thức $P(x)$ có nghiệm \(\left\{0;1;2;...;2017\right\}\)

Đặt \(P(x)=x(x-1)(x-2)...(x-2017)Q(x)\) trong đó $Q(x)$ là một đa thức tùy ý nào đó.

Khi đó thay vào điều kiện ban đầu ta có:

\(x(x-1)(x-2)....(x-2018)Q(x-1)=(x-2018)x(x-1)...(x-2017)Q(x)\)với mọi $x$

\(\Rightarrow Q(x-1)=Q(x)\)

\(\Rightarrow Q(x)=Q(x-1)=...=Q(0)=c\) với $c$ là một hằng số

Do đó $P(x)$ có dạng \(cx(x-1)(x-2)...(x-2017)\) với $c$ là hằng số bất kỳ.