Lời giải:
Lấy $P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AD, BC$
Nhớ tính chất 2 vecto đối nhau thì tổng bằng vecto không.
Ta có:
\(\overrightarrow{IP}=\frac{(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AP})+(\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{DP})}{2}=\frac{\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{ID}}{2}=\frac{\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{IN}+\overrightarrow{ND}}{2}\)
\(=\frac{\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{ND}}{2}=\frac{-k\overrightarrow{AB}-k\overrightarrow{DC}}{2}=-\frac{k}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})(*)\)
Mặt khác:
\(\overrightarrow{IQ}=\frac{(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BQ})+(\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{CQ})}{2}=\frac{\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}}{2}=\frac{\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{IN}+\overrightarrow{NC}}{2}\)
\(=\frac{\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{NC}}{2}=\frac{\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{ND}+\overrightarrow{DC}}{2}=\frac{-k\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}-k\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DC}}{2}\)
\(=\frac{(1-k)\overrightarrow{AB}+(1-k)\overrightarrow{DC}}{2}=\frac{1-k}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})(**)\)
Từ $(*);(**)\Rightarrow \overrightarrow{IP}=\frac{k}{k-1}\overrightarrow{IQ}$
Do đó: $I,P,Q$ thẳng hàng. Tức là $I$ chạy trên đường thẳng $PQ$ với $P,Q$ như mô tả ở trên.
