Bài 3: Hình thang cân

a: Ta có: NM là đường trung trực của BC

nên NM⊥BC tại M

mà NM⊥AD

nên BC//AD

Ta có: N là điểm nằm trên đường trung trực của BC

nên NB=NC

Xét ΔAND và ΔCNB có 

\(\widehat{AND}=\widehat{CNB}\)

\(\widehat{ADN}=\widehat{CBN}\)

Do đó: ΔAND\(\sim\)ΔCNB

Suy ra: \(\dfrac{AN}{CN}=\dfrac{ND}{NB}\)

\(\Leftrightarrow AN=ND\)

Xét ΔAND có AN=ND

nên ΔNAD cân tại N

b: Ta có: NA+NC=AC

ND+NB=DB

mà NA=ND

và NC=NB

nên AC=DB

Xét tứ giác ABCD có AD//BC

nên ABCD là hình thang

mà AC=DB

nên ABCD là hình thang cân

Hình vẽ minh họa

Hình vẽ minh họa 

a: Ta có: \(\widehat{OAB}=\widehat{ODC}\)

\(\widehat{OBA}=\widehat{OCD}\)

mà \(\widehat{ODC}=\widehat{OCD}\)

nên \(\widehat{OAB}=\widehat{OBA}\)

Xét ΔOAB có \(\widehat{OAB}=\widehat{OBA}\)

nên ΔOAB cân tại O

b: Xét ΔABD và ΔBAC có 

AB chung

BD=AC

AD=BC

Do đó: ΔABD=ΔBAC

c: Xét ΔACD và ΔBDC có 

AC=BD

AD=BC

CD chung

Do đó: ΔACD=ΔBDC

Suy ra: \(\widehat{ACD}=\widehat{BDC}\)

hay \(\widehat{EDC}=\widehat{ECD}\)

Xét ΔECD có \(\widehat{EDC}=\widehat{ECD}\)

nên ΔECD cân tại E

d: Ta có: EA+EC=AC

EB+ED=BD

mà AC=BD

và EC=ED

nên EA=EB

Ta có: OA=OB

nên O nằm trên đường trung trực của AB\(\left(1\right)\)

Ta có: EA=EB

nên E nằm trên đường trung trực của AB\(\left(2\right)\)

Ta có: OA+AD=OD

OB+BC=OC

mà OA=OB

và AD=BC

nên OD=OC

Ta có: OD=OC

nên O nằm trên đường trung trực của CD\(\left(3\right)\)

Ta có: ED=EC

nên E nằm trên đường trung trực của CD\(\left(4\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\) suy ra OE là đường trung trực của AB

Từ \(\left(3\right),\left(4\right)\) suy ra OE là đường trung trực của CD

Xét ΔABC có 

BD là đường phân giác ứng với cạnh AC

nên \(\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{AB}{BC}\left(1\right)\)

Xét ΔACB có 

CE là đường phân giác ứng với cạnh AB

nên \(\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{AC}{BC}\left(2\right)\)

Ta có: ΔABC cân tại A

nên \(AB=AC\left(3\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\) suy ra \(\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{AD}{DC}\)

hay ED//BC

Xét tứ giác BEDC có DE//BC

nên BEDC là hình thang

mà \(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\)

nên BEDC là hình thang cân

Bài 11:

Gọi F là giao điểm của AH và DE

Xét ΔABC có: 

D là trung điểm của AB( gt)

E là trung điểm của AC (gt)

=> DE là đường trung bình của tam giác ABC

=> DE//BC

    Mà BC⊥AH( AH là đường cao của ΔABC)

=>DE⊥AH tại F( từ vuông góc đến song song)

Xét ΔABH có:

DF//BH( do DE//BC, mà \(F\in DE,H\in BC\) => DF//BH)

Mà D là trung điểm của AB( gt)

=> F là trung điểm của AH

Ta có: F là trung điểm của AH( cmt)

          AH⊥DE (cmt)

=> DE là đường trung trực của AH

b) Ta có: DE//BC( DE là đường trung bình của ΔABC)

             Mà \(H,K\in BC\)

=> DE//HK => Tứ giác DEKH là hình thang\(\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có: 

HE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền( E là trung điểm của AC)

=> \(HE=\dfrac{1}{2}AC\)

Xét ΔABC có: 

D, K lần lượt là trung điểm của AB,BC( gt)

=> DK là đường trung bình của ΔABC \(\Rightarrow DK=\dfrac{1}{2}AC\)

Mà \(HE=\dfrac{1}{2}AC\left(cmt\right)\Rightarrow HE=DK\left(2\right)\)

Từ\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow\) Tứ giác DEKH là hình thang cân

a: Ta có: ΔAHB vuông tại H

mà HD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB

nên HD=AD=DB

Ta có: ΔAHC vuông tại H

mà HE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC

nên HE=AE=CE

Ta có: HA=AD

nên D nằm trên đường trung trực của AH\(\left(1\right)\)

Ta có: EH=EA

nên E nằm trên đường trung trực của HA\(\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\) suy ra DE là đường trung trực của AH

b: Xét ΔABC có

D là trung điểm của AB

E là trung điểm của AC

Do đó: DE là đường trung bình của ΔBAC

Suy ra: DE//CB

hay DE//HK

Xét ΔABC có

D là trung điểm của AB

K là trung điểm của CB

Do đó: DK là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: \(DK=\dfrac{AC}{2}\left(3\right)\)

Ta có: ΔAHC vuông tại H

mà HE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC

nên \(HE=\dfrac{AC}{2}\left(4\right)\)

Từ \(\left(3\right),\left(4\right)\) suy ra DK=HE

Xét tứ giác DEKH có DE//HK

nên DEKH là hình thang

Hình thang DEKH có DK=HE

nên DEKH là hình thang cân

Xét ΔBCD vuông tại B có 

\(\sin\widehat{BDC}=\dfrac{BC}{CD}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{BDC}=30^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{BCD}=\widehat{ADC}=60^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{BAD}=\widehat{ABC}=120^0\)

Bài 8:

a: Xét ΔDBC có 

E là trung điểm của BD

M là trung điểm của BC

Do đó: EM là đường trung bình của ΔDBC

Suy ra: EM//DC

b: Xét ΔAEM có

D là trung điểm của AE

DI//EM

Do đó: I là trung điểm của AM

Bài 5: 

Xét ΔABC có 

\(\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{AD}{DC}\left(=1\right)\)

Do đó: DE//BC

Xét tứ giác BEDC có DE//BC

nên BEDC là hình thang

mà \(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\)

nên BEDC là hình thang cân

Xét ΔADE có 

\(\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE}\)

Do đó: BC//DE

Xét ΔACE và ΔABD có 

AC=AB

\(\widehat{CAE}\) chung

AE=AD

Do đó: ΔACE=ΔABD

Suy ra: CE=BD

Xét tứ giác BCDE có BC//ED

nên BCDE là hình thang

mà CE=BD

nên BCDE là hình thang cân

lm hộ bài 2 phần b c d vs ạ