Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit

\(\Rightarrow\left(x^2+2\right)^2=2x^4-4x^2+m\)

\(\Rightarrow m=-x^4+8x^2+4\)

BBT \(f\left(x\right)=-x^4+8x^2+4\Rightarrow4< m< 20\)

Phương trình ⇒ (x² + 2)² = 2x⁴ - 4x² + m

⇔ m = - x⁴ + 8x² + 4 (1)

(1) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = m và độ thị hàm số y = f(x) =  - x⁴ + 8x² + 4.

Đạo hàm : \(y'\) = - 4x³ + 16x = x (16 - 4x²) = x (4 - 2x) (4 + 2x)

y' = 0 ⇔ \(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=\dfrac{1}{2}\\x=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\) 

y' > 0 ⇔ x ∈ \(\left(-\infty;-\dfrac{1}{2}\right)\cup\left(0;\dfrac{1}{2}\right)\) (Đồng biến)

y' < 0 ⇔ x ∈ \(\left(-\dfrac{1}{2};0\right)\cup\left(\dfrac{1}{2};+\infty\right)\) (nghịch biến)

(1) có 4 nghiệm phân biệt khi y = m cắt y = f(x) tại 4 điểm phân biệt

⇔ f(0) < m < f\(\left(\dfrac{1}{2}\right)\)

⇔ 4 < m < 20

Đặt \(log_9a=log_{12}b=log_{15}\left(a+b\right)=t\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=9^t\\b=12^t\\a+b=15^t\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow9^t+12^t=15^t\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{3}{5}\right)^t+\left(\dfrac{4}{5}\right)^t=1\)

Hàm \(f\left(t\right)=\left(\dfrac{3}{5}\right)^t+\left(\dfrac{4}{5}\right)^t\) có \(f'\left(t\right)=\left(\dfrac{3}{5}\right)^tln\left(\dfrac{3}{5}\right)+\left(\dfrac{4}{5}\right)^t.ln\left(\dfrac{4}{5}\right)< 0\Rightarrow\) nghịch biến trên R

\(\Rightarrow f\left(t\right)\) có tối đa 1 nghiệm \(\Rightarrow t=2\) là nghiệm duy nhất 

\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}=\left(\dfrac{3}{4}\right)^2=\dfrac{9}{16}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3.2^xlogx-12logx-2^x+4=0\left(1\right)\\5^x=m\left(2\right)\end{matrix}\right.\) và \(5^x\ge m\) (\(x>0\))

Xét (1):

\(\Leftrightarrow3logx\left(2^x-4\right)-\left(2^x-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3logx-1\right)\left(2^x-4\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=2\\x_2=\sqrt[3]{10}\end{matrix}\right.\)

\(y=5^x\) đồng biến trên R nên (2) có tối đa 1 nghiệm

 Để pt đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt  ta có các TH sau:

TH1: (2) vô nghiệm \(\Rightarrow m\le0\) (ko có số nguyên dương nào)

TH2: (2) có nghiệm (khác với 2 nghiệm của (1)), đồng thời giá trị của m khiến cho đúng 1 nghiệm của (1) nằm ngoài miền xác định

(2) có nghiệm \(\Rightarrow m>0\Rightarrow x_3=log_5m\)

Do \(\sqrt[3]{10}>2\) nên bài toán thỏa mãn khi: \(x_1< x_3< x_2\)

\(\Rightarrow2< log_5m< \sqrt[3]{10}\)

\(\Rightarrow25< m< 5^{\sqrt[3]{10}}\) (hơn 32 chút xíu)

\(\Rightarrow\) \(32-26+1\) giá trị nguyên

1.

a.

ĐKXĐ: \(x^2-1>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x>1\\x< -1\end{matrix}\right.\)

\(log_2\left(x^2-1\right)=3\)

\(\Rightarrow x^2-1=8\)

\(\Leftrightarrow x^2=9\)

\(\Rightarrow x=\pm3\) (tm)

b.

ĐKXĐ: \(x>0\)

\(log_3x+log_{\sqrt{3}}x+log_{\dfrac{1}{3}}x=6\)

\(\Leftrightarrow log_3x+2log_3x-log_3x=6\)

\(\Leftrightarrow log_3x=3\)

\(\Rightarrow x=3^3=27\)

c. ĐKXĐ: \(x>0\)

\(log_{\sqrt{2}}^2x+3log_2x+log_{\dfrac{1}{2}}x=2\)

\(\Leftrightarrow\left(2log_2x\right)^2+3log_2x-log_2x=2\)

\(\Leftrightarrow4log_2^2x+2log_2x-2=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}log_2x=-1\\log_2x=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}\\x=\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

d.

ĐKXĐ: \(x>0\)

\(log_{\dfrac{1}{2}}^24x+log_2\dfrac{x^2}{8}=8\)

\(\Leftrightarrow\left(-log_24x\right)^2+log_2x^2-log_28=8\)

\(\Leftrightarrow\left(log_2x+log_24\right)^2+2log_2x-3=8\)

\(\Leftrightarrow\left(log_2x+2\right)^2+2log_2x-11=0\)

\(\Leftrightarrow log_2^2x+6log_2x-7=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}log_2x=1\\log_2x=-7\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=\dfrac{1}{2^7}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow3^{x^2}.4^{x+1}=3^{-x}\)

Lấy logarit cơ số 3 hai vế:

\(\Rightarrow log_3\left(3^{x^2}.4^{x+1}\right)=log_3\left(3^{-x}\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+\left(x+1\right)log_34=-x\)

\(\Leftrightarrow x^2+x+\left(x+1\right)log_34=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)+\left(x+1\right)log_34=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x+log_34\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=-log_34=-2log_32\end{matrix}\right.\)

ĐKXĐ: \(-x^2+4x+m>0\)

\(log_2\left(-x^2+4x+m\right)-log_2\left(x^2+2\right)< log_23\)

\(\Leftrightarrow log_2\left(\dfrac{-x^2+4x+m}{x^2+2}\right)< log_23\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-x^2+4x+m}{x^2+2}< 3\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x^2+4x+m>0\\-x^2+4x+m< 3x^2+6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>x^2-4x\\m< 4x^2-4x+6\end{matrix}\right.\) ; \(\forall x\in\left[1;5\right]\)

Xét hai hàm \(\left\{{}\begin{matrix}f\left(x\right)=x^2-4x\\g\left(x\right)=4x^2-4x+6\end{matrix}\right.\) trên \(\left[1;5\right]\) ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}f\left(x\right)_{max}=f\left(5\right)=5\\g\left(x\right)_{min}=g\left(1\right)=6\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow5\le m\le6\)

Có 2 giá trị nguyên của m

\(1\le1+\sqrt{1-x^2}\le2\Rightarrow3\le3^{1+\sqrt{1-x^2}}\le9\)

Đặt \(3^{1+\sqrt{1-x^2}}=t\Rightarrow t\in\left[3;9\right]\)

Phương trình trở thành: \(t^2-\left(m+2\right)t+2m+1=0\) 

\(\Leftrightarrow t^2-2t+1=m\left(t-2\right)\Leftrightarrow m=\dfrac{t^2-2t+1}{t-2}\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=\dfrac{t^2-2t+1}{t-2}\) trên \(\left[3;9\right]\)

\(f'\left(t\right)=\dfrac{t^2-4t+3}{\left(t-2\right)^2}\ge0\) ; \(\forall t\in\left[3;9\right]\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến trên khoảng đã cho

\(\Rightarrow f\left(3\right)\le f\left(t\right)\le f\left(9\right)\Rightarrow4\le m\le\dfrac{64}{7}\)

Có 6 giá trị nguyên của m 

a.

\(\left(\dfrac{1}{3}\right)^x=27\Rightarrow x=log_{\dfrac{1}{3}}27=-3\)

b.

\(4^x=\dfrac{\sqrt{2}}{8}\Rightarrow x=log_4\left(\dfrac{\sqrt{2}}{8}\right)=-\dfrac{5}{4}\)

c.

\(\left(0.2\right)^x=10\Rightarrow x=log_{0,2}10=-log_510\)

Không biết em có làm sai không:

ĐKXĐ: \(x,y\ge0\).

Đặt 2x = a; 3y = b. 

 HPT trở thành:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(\sqrt{5}\right)^a-\left(\sqrt{5}\right)^b+\left(a-b\right)\left(ab+12\right)=0\\a^2+b^2=16\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=16\\\left(\sqrt{5}\right)^a-\left(\sqrt{5}\right)^b+\left(b-a\right)\left(a^2+b^2\right)+a^3-b^3+12\left(a-b\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=16\\\left(\sqrt{5}\right)^a+a^3-4a=\left(\sqrt{5}\right)^b+b^3-4b=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\).

Giả sử \(a\ge b\Rightarrow\left(\sqrt{5}\right)^a\ge\left(\sqrt{5}\right)^b\). Mà \(\left(a^3-4a\right)-\left(b^3-4b\right)=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2-4\right)\ge0\) nên VT(1) \(\ge\) VP(1). 

Do đẳng thức xảy ra nên ta có a = b. Thay vào ta tìm được a = b = \(2\sqrt{2}\) nên \(x=\sqrt{2};y=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\).

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(\sqrt{5}\right)^{2x}-\left(\sqrt{5}\right)^{3y}=\left(3y-2x\right)\left(6xy+12\right)\left(1\right)\\4x^2+9y^2=16\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(2\right)\Rightarrow4x^2+9y^2-4=12\) the vo (1)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{5}\right)^{2x}-\left(\sqrt{5}\right)^{3y}=\left(3y-2x\right)\left(6xy+4x^2+9y^2-4\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{5}\right)^{2x}-\left(\sqrt{5}\right)^{3y}=27y^3-8x^3-12y+8x\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{5}\right)^{2x}+\left(2x\right)^3-4.\left(2x\right)=\left(\sqrt{5}\right)^{3y}+\left(3y\right)^3-4.\left(3y\right)\left(3\right)\)

Xét hàm số \(f\left(t\right)=\left(\sqrt{5}\right)^{2t}+\left(2t\right)^3-4.2t\)  đồng biến trên R

\(\Rightarrow\left(3\right):f\left(2x\right)=f\left(3y\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=3y\\4x^2+9y^2=16\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\sqrt{2}\\y=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\end{matrix}\right.\)

ĐKXĐ: \(x>0;x\ne\left\{\dfrac{1}{2};2\right\}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{1-log_2x}+\dfrac{\dfrac{1}{2}log_2x}{1+log_2x}>\dfrac{log_2x}{1-log_2^2x}\)

Đặt \(log_2x=t\ne\pm1\)

\(\Rightarrow\dfrac{2}{1-t}+\dfrac{t}{2\left(1+t\right)}>\dfrac{t}{1-t^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4\left(1+t\right)+t\left(1-t\right)-2t}{2\left(1-t\right)\left(1+t\right)}>0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-t^2+3t+4}{2\left(1-t\right)\left(1+t\right)}>0\Leftrightarrow\dfrac{\left(t+1\right)\left(4-t\right)}{2\left(1-t\right)\left(1+t\right)}>0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4-t}{1-t}>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t>4\\t< 1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}log_2x>4\\log_2x< 1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x>16\\0< x< \dfrac{1}{2}\\\dfrac{1}{2}< x< 2\end{matrix}\right.\)

Đề bài là:

\(\dfrac{2}{1-log_2x}+\dfrac{log_4x}{1+log_2x}>\dfrac{log_2x}{1-log_2^2x}\) đúng ko bạn?