Bài 6: Bất phương trình mũ và logarit

I. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1. Bất phương trình mũ cơ bản

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng \(a^x>b\) (hoặc \(a^x\ge b\), \(a^x< b\), \(a^x\le b\)) với \(a>0,a\ne1\).

Ta xét bất phương trình dạng \(a^x>b\):

   +) Nếu \(b\le0\), tập nghiệm của bất phương trình là \(R\) ;

   +) Nếu \(b>0\), bất phương trình tương đương với \(a^x>a^{\log_ab}\)

         Với \(a>1\), nghiệm của bất phương trình là \(x>\log_ab\) 

         Với \(0< a< 1\), nghiệm của bất phương trình là \(x< \log_ab\).

Ví dụ 1:

+) \(3^x>81\Leftrightarrow x>\log_381\Leftrightarrow x>4\) ;

+) \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^x>32\Leftrightarrow x< \log_{\dfrac{1}{2}}32\Leftrightarrow x< -5\)

2. Bất phương trình mũ đơn giản

Ví dụ 2. Giải bất phương trình \(3^{x^2-x}< 9\).

Giải: 

Ta có \(3^{x^2-x}< 9\) \(\Leftrightarrow3^{x^2-x}< 3^2\)

Vì \(3>1\) nên \(x^2-x< 2\)

Giải bất phương trình \(x^2-x< 2\) ta được \(-1< x< 2\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(\left(-1;2\right)\).

Ví dụ 3. Giải bất phương trình \(4^x-2.5^{2x}< 10^x\).

Giải:

Chia hai vế của bất phương trình cho \(10^x\) ta được 

          \(\left(\dfrac{2}{5}\right)^x-2\left(\dfrac{5}{2}\right)^x< 1\)

Đặt \(t=\left(\dfrac{2}{5}\right)^x\left(t>0\right)\) ta có bất phương trình \(t-\dfrac{2}{t}< 1\) hay \(\dfrac{t^2-t-2}{t}< 0\)

Giải bất phương trình này với điều kiện \(t>0\) ta được \(0< t< 2\).

Do đó \(0< \left(\dfrac{2}{5}\right)^x< 2\). Vì \(\dfrac{2}{5}< 1\) nên \(x>\log_{\dfrac{2}{5}}2\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(\left(\log_{\dfrac{2}{5}}2;+\infty\right)\).

II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

1. Bất phương trình lôgarit cơ bản

Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng \(\log_ax>b\) (hoặc \(\log_ax\ge b\), \(\log_ax< b\), \(\log_ax\le b\)) với \(a>0,a\ne1\).

Xét bất phương trình \(\log_ax>b\):

   +) Trường hợp \(a>1\) ta có \(\log_ax>b\Leftrightarrow x>a^b\) ;

   +) Trường hợp \(0< a< 1\) ta có \(\log_ax>b\Leftrightarrow0< x< a^b\).

Ví dụ 4: 

  a) \(\log_2x>7\Leftrightarrow x>2^7\Leftrightarrow x>128\) ;

  b) \(\log_{\dfrac{1}{2}}x>3\Leftrightarrow0< x< \left(\dfrac{1}{2}\right)^3\Leftrightarrow0< x< \dfrac{1}{8}\).

2. Bất phương trình lôgarit đơn giản

Ví dụ 5. Giải bất phương trình \(\log_{0,5}\left(5x+10\right)< \log_{0,5}\left(x^2+6x+8\right)\).

Giải:

Điều kiện: \(\left\{{}\begin{matrix}5x+10>0\\x^2+6x+8>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x>-2\)

Do \(0,5< 1\) nên bất phương trình đã cho tương đương với 

           \(5x+10>x^2+6x+8\)

      \(\Leftrightarrow x^2+x-2< 0\Leftrightarrow-2< x< 1\)

Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm của bất phương trình là \(\left(-2;1\right)\).

Ví dụ 6. Giải bất phương trình \(\log_2\left(x-3\right)+\log_2\left(x-2\right)\le1\).

Giải:

Điều kiện: \(x>3\)

Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với

          \(\log_2\left[\left(x-3\right)\left(x-2\right)\right]\le\log_22\)

Do \(2>1\) nên \(\left(x-3\right)\left(x-2\right)\le2\) 

Giải bất phương trình này ta được \(1\le x\le4\). 

Kết hợp với điều kiện \(x>3\) ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \((3;4]\).