Bài 7: Ôn tập chương Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

I. LUỸ THỪA

1. Luỹ thừa với số mũ nguyên

Cho \(n\) là một số nguyên dương. 

Với \(a\) là số thực tuỳ ý, luỹ thừa bậc \(n\) của \(a\) là tích của \(n\) thừa số \(a\).

                                 \(a^n=a.a.a...a\) (\(n\) thừa số \(a\))

Với \(a\ne0\):                 \(a^0=1\) ; \(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\)

Trong biểu thức \(a^m\), ta gọi \(a\) là cơ số, số nguyên \(m\) là số mũ.

Chú ý: \(0^0\) và \(0^{-n}\) không có nghĩa;

           Luỹ thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự như luỹ thừa với số mũ nguyên dương.

2. Phương trình \(x^n=b\)

- Trường hợp \(n\) lẻ: Với mọi số thực \(b\), phương trình có nghiệm duy nhất.

- Trường hợp \(n\) chẵn: 

           Với \(b< 0\), phương trình vô nghiệm ;

           Với \(b=0\), phương trình có một nghiệm \(x=0\) ;

           Với \(b>0\), phương trình có hai nghiệm đối nhau.

3. Căn bậc \(n\)

a) Khái niệm

Cho số thực \(b\) và số nguyên dương \(n\) \(\left(n\ge2\right)\). Số \(a\) được gọi là căn bậc \(n\) của số \(b\) nếu \(a^n=b\).

Từ định nghĩa ta có thể biện luận số nghiệm của phương trình \(x^n=b\):

Với \(n\) lẻ: Với mọi số thực \(b\), phương trình có nghiệm duy nhất là căn bậc \(n\) của \(b\), kí hiệu là \(\sqrt[n]{b}\).

Với \(n\) chẵn: 

              \(b< 0\), không tồn tại căn bậc \(n\) của \(b\), phương trình vô nghiệm ;

              \(b=0\), có một căn bậc \(n\) của \(b\) là 0 ;

              \(b>0\), có hai căn trái dấu, kí hiệu giá trị dương là \(\sqrt[n]{b}\), kí hiệu giá trị âm là \(-\sqrt[n]{b}\).

b) Tính chất của căn bậc \(n\)

             \(\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\) ; 

             \(\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\) ;

              \(\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}\) ;

              \(\sqrt[n]{a^n}=a\) khi \(n\) lẻ , \(\sqrt[n]{a^n}=\left|a\right|\) khi \(n\) chẵn ;

              \(\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a}\).

4. Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực \(a\) dương và số hữu tỉ \(r=\dfrac{m}{n}\), trong đó \(m\in Z,n\in N,n\ge2\). Luỹ thừa của \(a\) với số mũ \(r\) là số \(a^r\) xác định bởi

               \(a^r=a^{\dfrac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)

5. Luỹ thừa với số mũ vô tỉ

Cho \(a\) là một số dương, \(\alpha\) là một số hữu tỉ. Luôn có một dãy số hữu tỉ \(\left(r_n\right)\) có giới hạn là \(\alpha\) và dãy số tương ứng \(\left(a^{r_n}\right)\) có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy số \(\left(r_n\right)\).

Ta gọi giới hạn của dãy số \(\left(a^{r_n}\right)\) là luỹ thừa của \(a\) với số mũ \(\alpha\), kí hiệu là \(a^{\alpha}\). 

               \(a^{\alpha}=\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}a^{r_n}\) với \(\alpha=\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}r_n\)

Chú ý: Từ định nghĩa, ta có \(1^{\alpha}=1\left(\alpha\in R\right)\).

6. Tính chất của luỹ thừa với số mũ thực

Luỹ thừa với số mũ thực có các tính chất tương tự như luỹ thừa với số mũ nguyên dương.

Cho \(a,b\) là các số thực dương, \(\alpha,\beta\) là các số thực tuỳ ý. 

              \(a^{\alpha}.a^{\beta}=a^{\alpha+\beta}\) ;

              \(\dfrac{a^{\alpha}}{a^{\beta}}=a^{\alpha-\beta}\) ;

              \(\left(a^{\alpha}\right)^{\beta}=a^{\alpha\beta}\) ;

              \(\left(ab\right)^{\alpha}=a^{\alpha}.b^{\alpha}\) ;

              \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{\alpha}=\dfrac{a^{\alpha}}{b^{\alpha}}\).

Nếu \(a>1\) thì \(a^{\alpha}>a^{\beta}\Leftrightarrow\alpha>\beta\)

Nếu \(a< 1\) thì \(a^{\alpha}>a^{\beta}\Leftrightarrow\alpha< \beta\).

II. HÀM SỐ LUỸ THỪA

1. Khái niệm

Hàm số \(y=x^{\alpha}\), với \(\alpha\in R\), được gọi là hàm số luỹ thừa.

Ví dụ: Các hàm số \(y=x;y=x^2;y=\dfrac{1}{x^4};y=x^{\dfrac{1}{3}};y=x^{\sqrt{2}};y=x^{\pi}\) là các hàm số luỹ thừa.

Chú ý: Tập xác định của hàm số luỹ thừa \(y=x^{\alpha}\) tuỳ thuộc vào giá trị của \(\alpha\). Cụ thể:

        Với \(\alpha\) nguyên dương, tập xác định là \(R\) ;

        Với \(\alpha\) nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là \(R\backslash\left\{0\right\}\) ;

        Với \(\alpha\) không nguyên, tập xác định là \(\left(0;+\infty\right)\).

2. Đạo hàm của hàm số luỹ thừa

Hàm số luỹ thừa \(y=x^{\alpha}\) (\(\alpha\in R\)) có đạo hàm với mọi \(x>0\) và 

        \(\left(x^{\alpha}\right)'=\alpha x^{\alpha-1}\)

Ví dụ:

      +) \(\left(x^{\dfrac{3}{4}}\right)'=\dfrac{3}{4}.x^{-\dfrac{1}{4}}=\dfrac{3}{4\sqrt[4]{x}}\left(x>0\right)\) ;

      +) \(\left(x^{\sqrt{3}}\right)'=\sqrt{3}.x^{\sqrt{3}-1}\left(x>0\right)\)

Chú ý: Công thức tính đạo hàm của hàm hợp đối với hàm số luỹ thừa có dạng:

               \(\left(u^{\alpha}\right)'=\alpha u^{\alpha-1}.u'\).

Ví dụ: \(\left(\left(2x^2+x-1\right)^{\dfrac{2}{3}}\right)'=\dfrac{2}{3}.\left(2x^2+x-1\right)^{-\dfrac{1}{3}}.\left(2x^2+x-1\right)'=\dfrac{2\left(4x+1\right)}{3\sqrt[3]{2x^2+x-1}}\)

3. Khảo sát hàm số luỹ thừa \(y=x^{\alpha}\)

Đồ thị hàm số:

Đồ thị hàm số luỹ thừa \(y=x^{\alpha}\) luôn đi qua điểm \(\left(1;1\right)\).

Chú ý: Khi khảo sát hàm số luỹ thừa với số mũ cụ thể, t phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó.

III. LÔGARIT

1. Định nghĩa

Cho hai số dương \(a,b\) với \(a\ne1\). Số \(\alpha\) thoả mãn đẳng thức \(a^{\alpha}=b\) được gọi là lôgarit cơ số \(a\) của \(b\) và kí hiệu là \(\log_ab\).

                \(\alpha=\log_ab\Leftrightarrow a^{\alpha}=b\)

Ví dụ:

    +) \(\log_28=3\) vì \(2^3=8\)  ;

    +) \(\log_{\dfrac{1}{3}}9=-2\) vì \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2}=9\).

Chú ý: Không có lôgarit của số âm và số 0.

2. Tính chất

Cho hai số dương \(a\) và \(b\), \(a\ne1\). Ta có các tính chất:

       \(\log_a1=0\) ; \(\log_aa=1\)

       \(a^{\log_ab}=b\) ; \(\log_a\left(a^{\alpha}\right)=\alpha\).

2. Quy tắc tính lôgarit

a) Lôgarit của một tích

Cho ba số dương \(a,b_1,b_2\) với \(a\ne1\), ta có:

           \(\log_a\left(b_1b_2\right)=\log_ab_1+\log_ab_2\)

Lôgarit của một tích bằng tổng các lôgarit.

Chú ý: 

           \(\log_a\left(b_1b_2...b_n\right)=\log_ab_1+\log_ab_2+...+\log_ab_n\)

           (\(a,b_1,b_2,...,b_n>0,a\ne1\))

b) Lôgarit của một thương

Cho ba số dương \(a,b_1,b_2\) với \(a\ne1\), ta có:

             \(\log_a\dfrac{b_1}{b_2}=\log_ab_1-\log_ab_2\)

Lôgarit của một thương bằng hiệu các lôgarit.

Đặc biệt: \(\log_a\dfrac{1}{b}=-\log_ab\) (\(a>0,b>0,a\ne1\))

c) Lôgarit của một luỹ thừa

Cho hai số dương \(a,b\), \(a\ne1\). Với mọi \(\alpha\), ta có:

         \(\log_ab^{\alpha}=\alpha\log_ab\)

Lôgarit của một luỹ thừa bằng tích của số mũ với lôgarit của cơ số.

Đặc biệt: \(\log_a\sqrt[n]{b}=\dfrac{1}{n}\log_ab\).

3. Đổi cơ số

Cho ba số dương \(a,b,c\) với \(a\ne1,c\ne1\), ta có \(\log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}\).

Đặc biệt:  \(\log_ab=\dfrac{1}{\log_ba}\)  (\(b\ne1\))

                \(\log_{a^{\alpha}}b=\dfrac{1}{\alpha}\log_ab\) (\(\alpha\ne0\))

4. Lôgarit thập phân. Lôgarit tự nhiên

a) Lôgarit thập phân

Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10. 

\(\log_{10}b\) thường được viết là \(\log b\) hoặc \(lgb\).

b) Lôgarit tự nhiên

Người ta chứng minh được dãy số \(\left(u_n\right)\) với \(u_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\) có giới hạn là một số vô tỉ và gọi số đó là \(e\).

Một giá trị gần đúng của \(e\) là \(e\approx2,718281828459045\)

Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số \(e\).

\(\log_eb\) được viết tắt là \(\ln b\).

IV. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔGARIT

1. Hàm số mũ

a) Định nghĩa

Cho số thực dương \(a\) khác 1.

Hàm số \(y=a^x\) được gọi là hàm số mũ cơ số \(a\).

Ví dụ: \(y=\left(\sqrt{3}\right)^x\) là hàm số mũ cơ số \(\sqrt{3}\).

b) Đạo hàm của hàm số mũ

Ta thừa nhận công thức: \(\lim\limits_{t\rightarrow0}\dfrac{e^t-1}{t}=1\)

Hàm số \(y=e^x\) có đạo hàm tại mọi \(x\) và 

       \(\left(e^x\right)'=e^x\).

Chú ý: Công thức đạo hàm của hàm hợp đối với hàm số \(e^u\left(u=u\left(x\right)\right)\) là \(\left(e^u\right)'=u'.e^u\).

Hàm số \(y=a^x\left(a>0,a\ne1\right)\) có đạo hàm tại mọi \(x\) và

        \(\left(a^x\right)'=a^x\ln a\).

Chú ý: Đối với hàm hợp \(a^{u\left(x\right)}\) ta có: \(\left(a^{u\left(x\right)}\right)'=a^u\ln a.u'\).

c) Khảo sát hàm số mũ \(y=a^x\left(a>0,a\ne1\right)\)

2. Hàm số lôgarit

a) Định nghĩa

Cho số thực dương \(a\) khác 1.

Hàm số \(y=\log_ax\) được gọi là hàm số lôgarit cơ số \(a\).

Ví dụ: Các hàm số \(y=\log_3x,y=\log_{\dfrac{1}{4}}x,y=\ln x,y=\log x\) là các hàm số lôgarit với cơ số lần lượt là \(3,\dfrac{1}{4},e,10\).

b) Đạo hàm của hàm số lôgarit

Hàm số \(y=\log_ax\) \(\left(a>0,a\ne1\right)\) có đạo hàm tại mọi \(x>0\) và

               \(\left(\log_ax\right)'=\dfrac{1}{x\ln a}\).

Đặc biệt: \(\left(\ln x\right)'=\dfrac{1}{x}\).

Chú ý: Đối với hàm hợp \(\log_au\left(x\right)\) ta có: \(\left(\log_au\left(x\right)\right)'=\dfrac{u'}{u\ln a}\).

c) Khảo sát hàm số \(y=\log_ax\) \(\left(a>0,a\ne1\right)\)

Nhận xét: Đồ thị của các hàm số \(y=a^x\) và \(y=\log_ax\) \(\left(a>0,a\ne1\right)\) đối xứng với nhau qua đường thẳng \(y=x\).

V. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

1. Phương trình mũ cơ bản

Phương trình mũ cơ bản có dạng

          \(a^x=b\left(a>0,a\ne1\right)\)

Để giải phương trình trên, ta sử dụng định nghĩa lôgarit. 

Với \(b>0\), ta có \(a^x=b\Leftrightarrow x=\log_ab\). Phương trình có nghiệm duy nhất.

Với \(b\le0\), phương trình  vô nghiệm.

2. Các cách giải một số phương trình mũ cơ bản

a) Đưa về cùng cơ số

b) Đặt ẩn phụ

c) Lôgarit hoá

3. Phương trình lôgarit cơ bản

Phương trình lôgarit cơ bản có dạng 

         \(\log_ax=b\left(a>0,a\ne1\right)\)

Theo định nghĩa lôgarit ta có:

        \(\log_ax=b\Leftrightarrow x=a^b\)

Phương trình \(\log_ax=b\left(a>0,a\ne1\right)\) luôn có nghiệm duy nhất \(x=a^b\) với mọi \(b\).

4. Cách giải một số phương trình lôgarit cơ bản

a) Đưa về cùng cơ số

b) Đặt ẩn phụ

c) Mũ hoá

VI. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

1. Bất phương trình mũ cơ bản

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng \(a^x>b\) (hoặc \(a^x\ge b\), \(a^x< b\), \(a^x\le b\)) với \(a>0,a\ne1\)

Ta xét bất phương trình dạng \(a^x>b\):

   +) Nếu \(b\le0\), tập nghiệm của bất phương trình là \(R\) ;

   +) Nếu \(b>0\), bất phương trình tương đương với \(a^x>a^{\log_ab}\)

         Với \(a>1\), nghiệm của bất phương trình là \(x>\log_ab\) 

         Với \(0< a< 1\), nghiệm của bất phương trình là \(x< \log_ab\).

2. Bất phương trình mũ đơn giản

Ví dụ 1. Giải bất phương trình \(4^x-2.5^{2x}< 10^x\).

Giải:

Chia hai vế của bất phương trình cho \(10^x\) ta được 

          \(\left(\dfrac{2}{5}\right)^x-2\left(\dfrac{5}{2}\right)^x< 1\)

Đặt \(t=\left(\dfrac{2}{5}\right)^x\left(t>0\right)\) ta có bất phương trình \(t-\dfrac{2}{t}< 1\) hay \(\dfrac{t^2-t-2}{t}< 0\)

Giải bất phương trình này với điều kiện \(t>0\) ta được \(0< t< 2\).

Do đó \(0< \left(\dfrac{2}{5}\right)^x< 2\). Vì \(\dfrac{2}{5}< 1\) nên \(x>\log_{\dfrac{2}{5}}2\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(\left(\log_{\dfrac{2}{5}}2;+\infty\right)\).

3. Bất phương trình lôgarit cơ bản

Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng \(\log_ax>b\) (hoặc \(\log_ax\ge b\), \(\log_ax< b\), \(\log_ax\le b\)) với \(a>0,a\ne1\).

Xét bất phương trình \(\log_ax>b\):

   +) Trường hợp \(a>1\) ta có \(\log_ax>b\Leftrightarrow x>a^b\) ;

   +) Trường hợp \(0< a< 1\) ta có \(\log_ax>b\Leftrightarrow0< x< a^b\).

2. Bất phương trình lôgarit đơn giản

Ví dụ 2. Giải bất phương trình \(\log_2\left(x-3\right)+\log_2\left(x-2\right)\le1\).

Giải:

Điều kiện: \(x>3\)

Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với

          \(\log_2\left[\left(x-3\right)\left(x-2\right)\right]\le\log_22\)

Do \(2>1\) nên \(\left(x-3\right)\left(x-2\right)\le2\) 

Giải bất phương trình này ta được \(1\le x\le4\). 

Kết hợp với điều kiện \(x>3\) ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \((3;4]\).