Question

Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để pt: log_x²+2(2x⁴ - 4x² + m) = 2 có 4 nghiệm thực x phân biệt ?

Answer 1

\(\Rightarrow\left(x^2+2\right)^2=2x^4-4x^2+m\)

\(\Rightarrow m=-x^4+8x^2+4\)

BBT \(f\left(x\right)=-x^4+8x^2+4\Rightarrow4< m< 20\)

Answer 2

Phương trình ⇒ (x² + 2)² = 2x⁴ - 4x² + m

⇔ m = - x⁴ + 8x² + 4 (1)

(1) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = m và độ thị hàm số y = f(x) =  - x⁴ + 8x² + 4.

Đạo hàm : \(y'\) = - 4x³ + 16x = x (16 - 4x²) = x (4 - 2x) (4 + 2x)

y' = 0 ⇔ \(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=\dfrac{1}{2}\\x=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\) 

y' > 0 ⇔ x ∈ \(\left(-\infty;-\dfrac{1}{2}\right)\cup\left(0;\dfrac{1}{2}\right)\) (Đồng biến)

y' < 0 ⇔ x ∈ \(\left(-\dfrac{1}{2};0\right)\cup\left(\dfrac{1}{2};+\infty\right)\) (nghịch biến)

(1) có 4 nghiệm phân biệt khi y = m cắt y = f(x) tại 4 điểm phân biệt

⇔ f(0) < m < f\(\left(\dfrac{1}{2}\right)\)

⇔ 4 < m < 20