Câu hỏi của Nguyễn Trần Khánh Linh

Question

Bài 1: Cho phương trình $9^x-2.6^x+m^2.4^x=0$, xác định m để pt có 2 nghiệm trái dấu

Bài 2: Cho phương trình $4^x-2m.2^x+2m=0$, xác định m để pt có 2 nghiệm thỏa $x_1+x_2=3$

Bài 3: Cho phương...

Akai Haruma · Accepted Answer

Bài 1: Đặt $\left(\frac{3}{2}\right)^x=a$ $(a>0)$ PT tương đương với: $\left(\frac{9}{4}\right)^x-2.\left(\frac{3}{2}\right)^x+m^2=0$ $\Leftrightarrow a^2-2a+m^2=0$ (1) -Trước tiên, để pt đầu tiên có hai nghiệm phân biệt thì (1) cũng phải có hai nghiệm phân biệt $\rightarrow $ $\Delta'=1-m^2>0\Leftrightarrow -1< m< 1$ Áp dụng hệ thức Viete với $a_1,a_2$ là nghiệm của (1) $\left\{\begin{matrix} a_1+a_2=2\ a_1a_2=m^2\end{matrix}\right.$ -Vì $a$ luôn dương nên $\left\{\begin{matrix} a_1+a_2>0\ a_1a_2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m^2>0 \Leftrightarrow m\neq 0$ -Xét đk cuối cùng, để pt đầu tiên có hai nghiệm trái dấu, tức $x<0$ hoặc $x>0$ thì $a<1$ hoặc $a>1$, hay $(a_1-1)(a_2-1)< 0$ $\Leftrightarrow a_1a_2-(a_1+a_2)+1< 0\Leftrightarrow m^2<1\Leftrightarrow -1< m< 1$ Vậy $-1< m< 1; m\neq 0$Câu trả lời: Bài 1: Đặt $\left(\frac{3}{2}\right)^x=a$ $(a>0)$ PT tương đương với: $\left(\frac{9}{4}\right)^x-2.\left(\frac{3}{2}\right)^x+m^2=0$ $\Leftrightarrow a^2-2a+m^2=0$ (1) -Trước tiên, để pt đầu tiên có hai nghiệm phân biệt thì (1) cũng phải có hai nghiệm phân biệt $\rightarrow $ $\Delta'=1-m^2>0\Leftrightarrow -1< m< 1$ Áp dụng hệ thức Viete với $a_1,a_2$ là nghiệm của (1) $\left\{\begin{matrix} a_1+a_2=2\ a_1a_2=m^2\end{matrix}\right.$ -Vì $a$ luôn dương nên $\left\{\begin{matrix} a_1+a_2>0\ a_1a_2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m^2>0 \Leftrightarrow m\neq 0$ -Xét đk cuối cùng, để pt đầu tiên có hai nghiệm trái dấu, tức $x<0$ hoặc $x>0$ thì $a<1$ hoặc $a>1$, hay $(a_1-1)(a_2-1)< 0$ $\Leftrightarrow a_1a_2-(a_1+a_2)+1< 0\Leftrightarrow m^2<1\Leftrightarrow -1< m< 1$ Vậy $-1< m< 1; m\neq 0$

Akai Haruma · Answer

Bài 2: Đặt $2^x=a\Rightarrow $ $4^x-2m.2^x+2m=0$ tương đương với: $a^2-2ma+2m=0$ (1) Để pt đầu tiên có hai nghiệm phân biệt thì (1) cũng phải có hai nghiệm phân biệt $\Rightarrow \Delta'=m^2-2m>0\Leftrightarrow m< 0$ hoặc $m>2$ Áp dugnj hệ thức viete với $a_1,a_2$ là hai nghiệm của phương trình: $a_1a_2=2m\Leftrightarrow 2^{x_1}.2^{x_2}=2m\Leftrightarrow 2^{x_1+x_2}=2m\Leftrightarrow 8=2m\rightarrow m=4$ (thỏa mãn) Vậy $m=4$Câu trả lời: Bài 2: Đặt $2^x=a\Rightarrow $ $4^x-2m.2^x+2m=0$ tương đương với: $a^2-2ma+2m=0$ (1) Để pt đầu tiên có hai nghiệm phân biệt thì (1) cũng phải có hai nghiệm phân biệt $\Rightarrow \Delta'=m^2-2m>0\Leftrightarrow m< 0$ hoặc $m>2$ Áp dugnj hệ thức viete với $a_1,a_2$ là hai nghiệm của phương trình: $a_1a_2=2m\Leftrightarrow 2^{x_1}.2^{x_2}=2m\Leftrightarrow 2^{x_1+x_2}=2m\Leftrightarrow 8=2m\rightarrow m=4$ (thỏa mãn) Vậy $m=4$

Akai Haruma · Answer

Bài 3:

Đặt $2^{\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}}=t\Rightarrow t^2-14t+8-m=0$ (1)

Trước hết ta xét khoảng giới hạn của t

ĐK: $x\in [-1;3]$

$f(x)=\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}-\frac{1}{2\sqrt{3-x}}$

$f'(x)=0\Leftrightarrow \sqrt{3-x}=\sqrt{x+1}\Leftrightarrow x=1$

Ta có: $\left\{\begin{matrix}
f(-1)=2\
f(3)=2\
f(1)=2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow f(x)_{max}=2\sqrt{2}; f(x)_{\min}=2$

$\Leftrightarrow t\in [4;4^{\sqrt{2}}]$

Từ (1) ta suy ra $m=t^2-14t+8=f(t)$; pt đầu tiên có nghiệm khi (1) có nghiệm .

Khi đó:  $f(t)_{\max}\geq m\geq f(t)_{\min}$

$f'(t)=2t-14=0\Leftrightarrow t=7$

Ta có: $\left\{\begin{matrix}
f(4)=-16\
f(4^{\sqrt{2}})\approx -40.9\
f(7)=-41\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow f(t)_{\max}=16; f(t)_{\min}=-41\Rightarrow -16\geq m\geq -41$Câu trả lời: Bài 3: