Nội dung lý thuyết
Cho hai số dương \(a,b\) với \(a\ne1\). Số \(\alpha\) thoả mãn đẳng thức \(a^{\alpha}=b\) được gọi là lôgarit cơ số \(a\) của \(b\) và kí hiệu là \(\log_ab\).
\(\alpha=\log_ab\Leftrightarrow a^{\alpha}=b\)
Ví dụ 1:
+) \(\log_28=3\) vì \(2^3=8\) ;
+) \(\log_{\dfrac{1}{3}}9=-2\) vì \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2}=9\).
Chú ý: Không có lôgarit của số âm và số 0.
Cho hai số dương \(a\) và \(b\), \(a\ne1\). Ta có các tính chất:
\(\log_a1=0\) ; \(\log_aa=1\)
\(a^{\log_ab}=b\) ; \(\log_a\left(a^{\alpha}\right)=\alpha\).
Ví dụ 2:
+) \(3^{2\log_35}=\left(3^{\log_35}\right)^2=5^2=25\) ;
+) \(\log_{\dfrac{1}{2}}8=\log_{\dfrac{1}{2}}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-3}=-3\).
Định lí 1:
Cho ba số dương \(a,b_1,b_2\) với \(a\ne1\), ta có:
\(\log_a\left(b_1b_2\right)=\log_ab_1+\log_ab_2\)
Lôgarit của một tích bằng tổng các lôgarit.
Chú ý: Định lí 1 có thể mở rộng cho tích của \(n\) số dương:
\(\log_a\left(b_1b_2...b_n\right)=\log_ab_1+\log_ab_2+...+\log_ab_n\)
(\(a,b_1,b_2,...,b_n>0,a\ne1\))
Ví dụ 3: Tính:
a) \(\log_69+\log_64\) ;
b) \(\log_{\dfrac{1}{2}}2+2\log_{\dfrac{1}{2}}\dfrac{1}{3}+\log_{\dfrac{1}{2}}\dfrac{3}{8}\).
Giải:
a) \(\log_69+\log_64=\log_6\left(9.4\right)=\log_636=2\)
b) \(\log_{\dfrac{1}{2}}2+2\log_{\dfrac{1}{2}}\dfrac{1}{3}+\log_{\dfrac{1}{2}}\dfrac{3}{8}=\log_{\dfrac{1}{2}}2+\log_{\dfrac{1}{2}}\dfrac{1}{3}+\log_{\dfrac{1}{2}}\dfrac{1}{3}+\log_{\dfrac{1}{2}}\dfrac{3}{8}\)
\(=\log_{\dfrac{1}{2}}\left(2.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{8}\right)=\log_{\dfrac{1}{2}}\dfrac{1}{12}\)
Định lí 2:
Cho ba số dương \(a,b_1,b_2\) với \(a\ne1\), ta có:
\(\log_a\dfrac{b_1}{b_2}=\log_ab_1-\log_ab_2\)
Lôgarit của một thương bằng hiệu các lôgarit.
Đặc biệt: \(\log_a\dfrac{1}{b}=-\log_ab\) (\(a>0,b>0,a\ne1\))
Ví dụ 4: Tính \(\log_749-\log_7343\).
Giải:
\(\log_749-\log_7343=\log_7\dfrac{49}{343}=\log_7\dfrac{1}{7}=-\log_77=-1\).
Định lí 3:
Cho hai số dương \(a,b\), \(a\ne1\). Với mọi \(\alpha\), ta có:
\(\log_ab^{\alpha}=\alpha\log_ab\)
Lôgarit của một luỹ thừa bằng tích của số mũ với lôgarit của cơ số.
Đặc biệt: \(\log_a\sqrt[n]{b}=\dfrac{1}{n}\log_ab\).
Ví dụ 5: Tính giá trị của các biểu thức:
a) \(\log_24^{\dfrac{1}{7}}\) ;
b) \(\log_5\sqrt{3}-\dfrac{1}{2}\log_515\).
Giải:
a) \(\log_24^{\dfrac{1}{7}}=\dfrac{1}{7}\log_24=\dfrac{1}{7}.2=\dfrac{2}{7}\)
b) \(\log_5\sqrt{3}-\dfrac{1}{2}\log_515=\log_5\sqrt{3}-\log_5\sqrt{15}=\log_5\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}}=\log_5\dfrac{1}{\sqrt{5}}=\log_55^{-\dfrac{1}{2}}=-\dfrac{1}{2}\).
Định lí 4:
Cho ba số dương \(a,b,c\) với \(a\ne1,c\ne1\), ta có \(\log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}\).
Đặc biệt: \(\log_ab=\dfrac{1}{\log_ba}\) (\(b\ne1\))
\(\log_{a^{\alpha}}b=\dfrac{1}{\alpha}\log_ab\) (\(\alpha\ne0\))
Ví dụ 6: Tính:
a) \(2^{\log_415}\) ;
b) \(3^{\log_{\dfrac{1}{27}}2}\).
Giải:
a) Ta có: \(\log_415=\log_{2^2}15=\dfrac{1}{2}\log_215=\log_2\sqrt{15}\)
Do đó: \(2^{\log_415}=2^{\log_2\sqrt{15}}=\sqrt{15}\)
b) Vì \(\log_{\dfrac{1}{12}}2=\log_{3^{-3}}2=\log_32^{-3}=\log_3\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\)
nên \(3^{\log_{\dfrac{1}{27}}2}=3^{\log_3\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\).
Ví dụ 7: Cho \(\alpha=\log_220\). Tính \(\log_{20}5\) theo \(\alpha\).
Giải:
Ta có \(\alpha=\log_220=\log_2\left(2^2.5\right)=2\log_22+\log_25=2+\log_25\)
Suy ra \(\log_25=\alpha-2\)
Vậy \(\log_{20}5=\dfrac{\log_25}{\log_220}=\dfrac{\alpha-2}{\alpha}\).
Ví dụ 8: Rút gọn biểu thức \(A=\log_{\dfrac{1}{3}}7+2\log_949-\log_{\sqrt{3}}\dfrac{1}{7}\).
Giải:
\(A=\log_{\dfrac{1}{3}}7+2\log_949-\log_{\sqrt{3}}\dfrac{1}{7}=\log_{3^{-1}}7+2\log_{3^2}\left(7^2\right)-\log_{3^{\dfrac{1}{2}}}\left(7^{-1}\right)\)
\(=-\log_37+2\log_37+2\log_37=3\log_37\)
Ví dụ 9: So sánh \(\log_23\) và \(\log_65\).
Giải:
Đặt \(a=\log_23\) và \(b=\log_65\)
Ta có: \(2^a=3>2^1\) nên \(a>1\), \(6^b=5< 6^1\) nên \(b< 1\)
Suy ra \(a>b\).
Vậy \(\log_23>\log_65\).
Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10.
\(\log_{10}b\) thường được viết là \(\log b\) hoặc \(lgb\).
Người ta chứng minh được dãy số \(\left(u_n\right)\) với \(u_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\) có giới hạn là một số vô tỉ và gọi số đó là \(e\).
Một giá trị gần đúng của \(e\) là \(e\approx2,718281828459045\)
Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số \(e\).
\(\log_eb\) được viết tắt là \(\ln b\).