Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

a: Xét ΔAMC và ΔDMB có

MA=MD

góc AMC=góc DMB

MC=MB

Do đo: ΔAMC=ΔDMB

b: Xét tứ giác ABDC có

M là trung điểm của AD

M là trung điểm của BC

Do đó: ABDC là hình bình hành

mà góc BAC=90 độ

nên ABDC là hình chữ nhật

=>góc ABD=90 độ

c: Ta có: ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên AM=1/2BC

a: Xét ΔABD vuông tạiD và ΔACE vuông tại E có

AB=AC

góc BAD chung

Do đo:ΔABD=ΔACE

b: Xét ΔADE có AD=AE
nên ΔADE cân tại A

c: Xét ΔADH vuông tại D và ΔAEH vuông tạiE có

AH chung

AD=AE
Do đó: ΔADH=ΔAEH

Suy ra: HD=HE

mà AD=AE
nên AH là đường trung trực của ED

Bài 1:

Giải:

Gọi H là giao của AG và BC

Ta có: CN là đường trung tuyến ứng với AB

BM là đường trung tuyến ứng với AC

Mà BM = CN

\(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A

Lại có 2 đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G mà AH cũng cắt tại G nên từ đó AH là đường trung tuyến còn lại.

\(\Rightarrow AH\) cũng là đường cao ứng với cạnh BC

\(\Rightarrow AH\perp BC\)

hay \(AG\perp BC\)

hình bạn tự vẽ nha

trên tia đối của tia AD lấy H sao cho AD=DH

tg ADB=tg HCD(c.g.c)

Xét \(\Delta ACH\)có AH<AC+CH (bất đẳng thức tam giác)

do AH=2AD nên 2AD<AC+CH

mà CH=AB nên 2AD<AB+AC (đpcm)

b)xét tg BGC có BG+GC>BC(bất đẳng thức tg)

mà BG\(=\dfrac{2}{3}BE\),\(GC=\dfrac{2}{3}CF\) nên \(\dfrac{2}{3}BE+\dfrac{2}{3}CF>BC\Rightarrow BE+CF>\dfrac{3}{2}BC\)(đpcm)

c)tương tự câu a ta có

2BE<AB+AC

2CF<BC+AC

suy ra 2(AD+BE+CF)<2(AB+AC+BC)

hay AD+BE+CF<AB+AC+BC (1)

tương tự câu b ta có CF+AD>\(\dfrac{3}{2}AC;BE+AD>\dfrac{3}{2}AD\)

cộng các vế với vế trong các bất đẳng thức trên ta có

2(AD+BE+CF)>3/2(AB+AC+BC)

\(\Leftrightarrow AD+BE+CF>\dfrac{3}{4}\left(AB+AC+BC\right)\left(2\right)\)

từ (1) và (2) ta có \(\dfrac{3}{4}\left(AB+AC+BC\right)< AD+BE+CF< AB+BC+AC\left(đpcm\right)\)

bai 2:

tra loi minh viet sau

a) BM là trung tuyến của tam giác ABC, G thuộc BM, BG=2/3BM => G la trọng tâm của tam giác ABC

=> GM=1/2BG

G là trung điểm của BK => GK=BG => GM+MK=BG. GM=1/2BG => 1/2BG+MK=BG => MK=1/2BG

=> GM=MK=1/2BM

Xét tam giác GKC: M trung điểm của GK, N là trung điểm của KC

=> CM và GN là trung tuyến của tam giác GKC. Mà CM, GN cắt nhau tại O

=> O là trọng tâm của tam giác GKC (đpcm)

b) GN là trung tuyển, O là trọng tâm => GO=2/3GN (1)

Xét tam giác BKC: G là trung điểm BK, N là trung điểm KC => GN=1/2BC (T/c đường trung bình) (2)

(1);(2) => GO=\(\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}\) BC (đpcm)

Câu 2: 

a: AG=2/3AM=10cm

b: Xét ΔAMB và ΔIMC có

MA=MI

góc AMB=góc IMC

MB=MC

Do đó: ΔAMB=ΔIMC

a: Xét ΔDBC có

CA là đường trung tuyến

CE=2/3CA

Do đó: E là trọng tâm

=>M la trung điểm của DC

b: Xét ΔDBC có

A là trung điểm của BD

M là trung điểmcủa DC

Do đó:AM là đường trung bình

=>AM=1/2BC