Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Điểm G là trọng tâm tam giác ABC nếu điều kiện nào dưới đây xảy ra?​

1. G thuộc đường thẳng AM và \(GM=\dfrac{1}{2}GA\).
2. G thuộc tia MA và \(GA=\dfrac{2}{3}AM\).
3. G thuộc đoạn thẳng AM và \(MG=\dfrac{2}{3}AM\).
4. G thuộc tia MA và \(MG=\dfrac{1}{2}AG\).

Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM. Trên tia AM lấy hai điểm D và E sao cho: \(AD=DE=EM\).
Gọi O là trung điểm của DE. Trong ba điểm O, D, E điểm nào là trọng tâm của tam giác ABC?

1. Điểm O.
2. Điểm D.
3. Điểm E.
4. Cả ba điểm O, D, E không có điểm nào là trọng tâm của tam giác ABC.

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, đường trung tuyến AD. Trên tia đối của tia DA lấy điểm M sao cho \(DM=\dfrac{1}{3}AD\). Khẳng định nào là đúng trong số các khẳng định dưới đây?

1. D là trung điểm của GM.
2. G là trung điểm của AD.
3. \(AD=\dfrac{3}{4}GM\).
4. \(AG=3DM\).

Cho tam giác ABC với đường trung tuyến BD, CE, AM.
Khẳng định nào là sai trong số các khẳng định dưới đây?

1. Nếu tam giác ABC cân tại A thì BD = CE.
2. Nếu BD = CE thì tam giác ABC cân tại A.
3. Nếu tam giác ABC đều thì BD = CE = AM.
4. Nếu tam giác ABC vuông tại A thì \(BD\perp CE\).

Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM. Gọi G là điểm thuộc tia AM sao cho \(AG=2GM\). Khẳng định nào là đúng trong số các khẳng định dưới đây?

1. \(S_{\Delta GAB}=S_{\Delta GBC}=S_{\Delta GAC}=\dfrac{1}{3}S_{\Delta ABC}\).
2. \(S_{\Delta GAB}=S_{\Delta GBC}=S_{\Delta GAC}=\dfrac{1}{4}S_{\Delta ABC}\).
3. \(S_{\Delta GAB}=S_{\Delta GBC}=S_{\Delta GAC}=\dfrac{3}{8}S_{\Delta ABC}\).
4. \(S_{\Delta GAB}=S_{\Delta GBC}=S_{\Delta GAC}=\dfrac{1}{6}S_{\Delta ABC}\).

Điền số thích hợp vào chỗ trống:

"Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng ... độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy."

1. \(\dfrac{2}{3}\).
2. \(\dfrac{3}{2}\).
3. \(\dfrac{1}{3}\).
4. \(3\).

Tam giác ABC có trung truyến AM= 9cm và G là trọng tâm tam giác. Độ dài GM là

1. 3cm.
2. 6cm.
3. 9cm.
4. 4,5cm.

Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau. Biết BD=9cm, CE=12cm. Tính độ dài cạnh BC?

1. \(BC=12cm\).
2. \(BC=6cm\).
3. \(BC=8cm\).
4. \(BC=10cm\).

Cho tam giác ABC, trung tuyến BD. Trên tia đối của tai DB lấy điểm E sao cho DE=DB. Gọi M,N lần lượt là trung điểm BC,CE. Gọi I,K lần lượt là giao điểm của AM,AN với BE. Tính BE biết IK=3cm?

1. 6cm.
2. 9cm.
3. 12cm.
4. 15cm.

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=5cm, BC=13cm. 3 đường trung tuyến AM,BN,CE cắt nhau tại O. Độ dài trung tuyến BN là

1. 6cm.
2. \(\sqrt{61}\)cm.
3. 12cm.
4. \(\sqrt{65}\)cm.