Bài 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC

Áp dụng BĐT Cosi:

\(\dfrac{x^2}{1+16x^4}+\dfrac{y^2}{1+16y^4}\le\dfrac{x^2}{8x^2}+\dfrac{y^2}{8y^2}=\dfrac{1}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\pm\dfrac{1}{2}\\y=\pm\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Áp dụng BĐT BSC:

\(\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{bc}{b+c}+\dfrac{ca}{c+a}\)

\(=\dfrac{b\left(a+b\right)-b^2}{a+b}+\dfrac{c\left(b+c\right)-c^2}{b+c}+\dfrac{a\left(c+a\right)-a^2}{c+a}\)

\(=a+b+c-\left(\dfrac{a^2}{c+a}+\dfrac{b^2}{a+b}+\dfrac{c^2}{c+a}\right)\)

\(\ge a+b+c-\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

4ab ≤ (a + b)² ⇒ \(\dfrac{4ab}{a+b}\le a+b\)

Tương tự \(\dfrac{4ac}{a+c}\le a+c\) ; \(\dfrac{4bc}{b+c}\le b+c\)

⇒ Cộng lại vế với vế :

4VT ≤ 2 (a+b+c) ⇒ VT ≤ \(\dfrac{a+b+c}{2}\)

a, Gọi I là trọng tâm của ΔABC

⇒ \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)

MA² + MB² + MC² = k²

⇔ 3MI² + 2\(\overrightarrow{MI}\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\right)+AB^2+AC^2+BC^2\) = k²

⇔ 3MI² = k² - 1014

⇔ MI = \(\sqrt{\dfrac{k-1014}{3}}\) = const

Vậy M thuộc \(\left(I;\sqrt{\dfrac{k-1014}{3}}\right)\)

Lời giải:

Để  $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương thì:

\(\frac{2}{5}=\frac{-3}{m}\Rightarrow m=\frac{-15}{2}\)

Đáp án D.

h xuất phát từ đỉnh nào bạn?

Vậy bạn cho xem hình nha

Ta có:

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}a.h_a=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{13}{2}.h_a=\sqrt{21\left(21-13\right)\left(21-14\right)\left(21-15\right)}\)

\(\Rightarrow h_a=\dfrac{168}{13}\)

Lời giải:

$\widehat{C}=180^0-68^012'-34^044'=77^04'$

Áp dụng công thức: \(\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}\)

\(\Leftrightarrow \frac{AC}{\sin 34^044'}=\frac{117}{\sin 77^004'}\Rightarrow AC=68,4\)

Đáp án A. 

\(\dfrac{cosA}{a}+\dfrac{cosB}{b}+\dfrac{cosC}{c}\)

\(=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2abc}+\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2abc}+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2abc}\)

\(=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2abc}\) (đpcm)

a² = b² + c² - 2bc.cosA

b² = a² + c² - 2ac.cosB

c² = a² + b² - 2ab.cosC

⇒ a² + b² + c² = 2bc.cosA + 2ac.cosB + 2ab.cosC

⇒ VT =  \(\dfrac{2bc.cosA}{2abc}+\dfrac{2ab.cosC}{2abc}+\dfrac{2ac.cosB}{2abc}\)

⇒ VT = \(\dfrac{cosA}{a}+\dfrac{cosB}{b}+\dfrac{cosC}{c}\)

\(\overrightarrow{BA}=\left(3;0\right)\Rightarrow AB=3=AC\) ; \(\overrightarrow{AC}=\left(a-2;b+2\right)\) ; \(\overrightarrow{BC}=\left(a+1;b+2\right)\)

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2-2AB.AC.cosA}=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-2\right)^2+\left(b+2\right)^2=9\\\left(a+1\right)^2+\left(b+2\right)^2=\dfrac{36}{5}\end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(a;b\right)=\left(\dfrac{1}{5};-\dfrac{22}{5}\right)\\\left(a;b\right)=\left(\dfrac{1}{5};\dfrac{2}{5}\right)\end{matrix}\right.\)

1. \(2cosB=\sqrt{2}\Rightarrow cosxB=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow B=45^0\)

2. \(A=180^0-\left(B+C\right)=60^0\)

3. \(r=\dfrac{S}{p}=\sqrt{3}\)

4. \(R=\dfrac{abc}{4S}=\dfrac{65}{8}\)