Question

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn d1: \(\sqrt{3}\)x + y = 0 và d2: \(\sqrt{3}\)x - y = 0. Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Biết ABC có diện tích = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) và điểm A có x_A > 0. Khi đó pt của (T) là

Answer 1

Dễ dàng nhận thấy AC là đường kính của đường tròn và AC vuông góc d1; AB vuông góc d2

Gọi tọa độ A có dạng \(A\left(a;-a\sqrt{3}\right)\) với \(a>0\)

Gọi d là đường thẳng qua A vuông góc d2 \(\Rightarrow\) d nhận \(\left(1;\sqrt{3}\right)\) là 1 vtpt

Phương trình d:

\(1\left(x-a\right)+\sqrt{3}\left(y+a\sqrt{3}\right)=0\Leftrightarrow x+\sqrt{3}y+2a=0\)

Tọa độ B là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x+\sqrt{3}y+2a=0\\\sqrt{3}x-y=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(-\frac{a}{2};-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{BA}=\left(\frac{3a}{2};-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\Rightarrow AB=a\sqrt{3}\)

Gọi d' là đường thẳng qua A và vuông góc d1 \(\Rightarrow\) d' nhận \(\left(1;-\sqrt{3}\right)\) là 1 vtpt

Phương trình d':

\(1\left(x-a\right)-\sqrt{3}\left(y+a\sqrt{3}\right)=0\Leftrightarrow x-\sqrt{3}y-4a=0\)

Tọa độ C là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x-\sqrt{3}y-4a=0\\\sqrt{3}x-y=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(-2a;-2a\sqrt{3}\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{CB}=\left(\frac{3a}{2};\frac{3a\sqrt{3}}{2}\right)\) \(\Rightarrow BC=3a\)

\(S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.BC=\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow\frac{1}{2}.a\sqrt{3}.3a=\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\Rightarrow a=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A\left(\frac{\sqrt{3}}{3};-1\right)\\C\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3};-2\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}I\left(-\frac{\sqrt{3}}{6};-\frac{3}{2}\right)\\R=\frac{AC}{2}=1\end{matrix}\right.\)

Phương trình đường tròn: \(\left(x+\frac{\sqrt{3}}{6}\right)^2+\left(y+\frac{3}{2}\right)^2=1\)