Lời giải:
Theo công thức cos giữa 2 vecto ta có:
\((\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CA})^2=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})^2=AB^2+CA^2+2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\)
\(=AB^2+CA^2+2.\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}).|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AC}|\)
\(=a^2+a^2+2\cos 60^0.a.a=3a^2\)
\(\Rightarrow |\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CA}|=\sqrt{3}a\)
Cách khác:
Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Vì $ABC$ là tam giác đều nên dễ dàng tính được: \(AM=\sqrt{AB^2-BM^2}=\sqrt{a^2-(\frac{a}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}a}{2}\)
Ta có:
\(|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CA}|=|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC}|\)
\(=|2\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=2|\overrightarrow{AM}|=2.\frac{\sqrt{3}a}{2}=\sqrt{3}a\)
(tổng 2 vecto đối nhau thì bằng $0$)
(−−→AB−−−→CA)2=(−−→AB+−−→AC)2=AB2+CA2+2−−→AB.−−→AC(AB→−CA→)2=(AB→+AC→)2=AB2+CA2+2AB→.AC→
=AB2+CA2+2.cos(−−→AB,−−→AC).|−−→AB|.|−−→AC|=AB2+CA2+2.cos(AB→,AC→).|AB→|.|AC→|
=a2+a2+2cos600.a.a=3a2=a2+a2+2cos600.a.a=3a2
⇒|−−→AB−−−→CA|=√3a
