Question

Cho tam giác ABC nhọn có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh
rằng:
1) DB.DC = DH.DA
2) Gọi I là giao điểm của tia EF và tia CB. Chứng minh rằng: IB.IC = IF.IE
3) HD/AD + HE/BE + HF/CF =1
4) H là giao điểm các đường phân giác của tam giác DEF

Answer 1

1: Xét ΔDAB vuông tại D và ΔDCH vuông tại D có

\(\widehat{DAB}=\widehat{DCH}\left(=90^0-\widehat{ABD}\right)\)

Do đó: ΔDAB~ΔDCH

=>\(\dfrac{DA}{DC}=\dfrac{DB}{DH}\)

=>\(DA\cdot DH=DB\cdot DC\)

2: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

\(\widehat{EAB}\) chung

Do đó: ΔAEB~ΔAFC

=>\(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)

=>\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)

Xét ΔAEF và ΔABC có

\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)

\(\widehat{FAE}\) chung

Do đó: ΔAEF~ΔABC

=>\(\widehat{AFE}=\widehat{ACB}\)

mà \(\widehat{AFE}=\widehat{IFB}\)(đối đỉnh)

nên \(\widehat{IFB}=\widehat{ICE}\)

Xét ΔIFB và ΔICE có

\(\widehat{IFB}=\widehat{ICE}\)

\(\widehat{FIB}\) chung

Do đó: ΔIFB~ΔICE