Ta có $AD \perp BC$ nên $\triangle ABD$ và $\triangle ACD$ vuông tại $D$.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$ với đường cao $AD$: $AD^2 = BD \cdot DC$.
Mặt khác: $AD = AH + HD$.
=> $AD \cdot HD = (AH + HD)\cdot HD$.
Mà trong tam giác vuông: $AH \cdot HD = BD \cdot DC$.
Do đó: $AD \cdot HD = BD \cdot DC$.
Xét tam giác $AEF$ và tam giác $ABC$:
Ta có:
$\widehat{AEF} = \widehat{ABC}$,
$\widehat{AFE} = \widehat{ACB}$.
=> $\triangle AEF \sim \triangle ABC$.
Gọi $I = EF \cap AH$.
Từ các cặp tam giác đồng dạng suy ra tỉ số:
$\dfrac{AI}{IH} = \dfrac{AD}{HD}$.
Nhân chéo: $AI \cdot HD = IH \cdot AD$.
Vậy: $AD \cdot HD = BD \cdot DC$ và $AI \cdot HD = IH \cdot AD$.
