Question

cho tam giác ABC nhọn các đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H . Gọi I là giao điểm EF và AD chứng minh rằng  :
1, AD.HD=DB.CD
2, tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC
3, AI.HD=IH.AD

Answer 1

1: Xét ΔDCH vuông tại D và ΔDAB vuông tại D có

\(\widehat{DCH}=\widehat{DAB}\)

Do đó:ΔDCH đồng dạng với ΔDAB

=>\(\dfrac{DC}{DA}=\dfrac{DH}{DB}\)

=>\(DC\cdot DB=DA\cdot DH\)

2: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

\(\widehat{EAB}\) chung

Do đó: ΔAEB đồng dạng với ΔAFC

=>\(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)

=>\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)

Xét ΔAEF và ΔABC có

\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)

\(\widehat{FAE}\) chung

Do đó: ΔAEF đồng dạng với ΔABC

Answer 2

3)

Gọi $I = EF \cap AD$.

Từ $\triangle AEF \sim \triangle ABC$ suy ra các tỉ số: $\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AF}{AC}$.

Mặt khác, do các cặp góc bằng nhau suy ra: $\triangle AIH \sim \triangle ADH$.

=> $\dfrac{AI}{IH} = \dfrac{AD}{HD}$.

Nhân chéo: $AI \cdot HD = IH \cdot AD$.