Question

Cho tam giác ABC đều.

Trên cạnh BC lấy 1 điểm D sao cho BD =1/3 BC.

Trên cạnh AB lấy 1 điểm E sao cho AE = 1/3 AB.

Trên cạnh AC lấy 1 điểm F sao cho CF = 1/3 AC.

Đoạn thẳng AD cắt các đoạn thẳng CE, BF lần lượt tại các điểm M,N. Đoạn thẳng BF cắt đoạn thảng CE tại điểm P.

Chứng minh rằng: Tam giác MNP là tam giác đều.

Hung nguyenXuân Tuấn TrịnhNguyễn Huy TúHoang Hung QuanĐức MinhNguyễn Tấn TàiTrần Hoàng NghĩaNguyễn Thanh HằngHa Hoang Vu NhatMới vôHoàng Thị Ngọc AnhNguyễn Huy Thắngsoyeon_Tiểubàng giảiTrần Việt LinhHoàng Lê Bảo NgọcVõ Đông Anh TuấnPhương AnLê Nguyên HạoNguyễn Quang ĐịnhThành Đạt.....

Answer 1

\(\Delta\)ABC đều =>AB=BC=CA và \(\widehat{ABC}=\widehat{BAC}=\widehat{ACB}\)

Xét \(\Delta\)ACE và \(\Delta\)BAD có:

AC=AB

\(\widehat{BAC}=\widehat{ABC}\)

AE=BD(=\(\dfrac{1}{3}\) độ dài cạnh \(\Delta\)ABC)

=>\(\Delta\)ACE=\(\Delta\)BAD(c.g.c)

=>\(\widehat{C_1}=\widehat{A_1}\)

Chứng minh tương tự ta có:\(\widehat{A_1}=\widehat{B_1}\)

=>\(\widehat{A_1}=\widehat{B_1}\)\(=\widehat{C_1}\)(1)

Mà \(\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=\widehat{B_1}+\widehat{B_2}=\widehat{C_1}+\widehat{C_2}\left(=60^o\right)\)

=>\(\widehat{A_2}=\widehat{B_2}=\widehat{C_2}\)(2)

Lại có:\(\widehat{F_1}=\widehat{B_1}+\widehat{C_2}\)(t/c góc ngoài)(3)

\(\widehat{N_1}=\widehat{B_2}+\widehat{A_1}\)(t/c góc ngoài)(4)

\(\widehat{M_1}=\widehat{A_2}+\widehat{C_1}\)(t/c góc ngoài)(5)

Từ (1);(2);(3);(4) và (5)=>\(\widehat{M_1}=\widehat{N_1}=\widehat{P}_1\)

Mà: \(\widehat{M_1}=\widehat{M_2};\widehat{N_1}=\widehat{N_2};\widehat{P_1}=\widehat{P_2}\)(các góc đối đỉnh)

=>\(\widehat{M_2}=\widehat{N_2}=\widehat{P}_2\)

=>\(\Delta MNP\)đều(đpcm)