Lời giải:
a. Từ tọa độ 3 điểm $ABC$ suy ra:
\(\overrightarrow{AB}=(-3,-5); \overrightarrow{BC}=(5,3)\)
\(\Rightarrow AB=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-3)^2+(-5)^2}=34; BC=|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}\)
\(\Rightarrow AB=BC\) nên tam giác $ABC$ cân tại $B$.
b. Đặt $D(x_D,y_D)$
Để $C$ là trung điểm $AD$ thì:
\(\left\{\begin{matrix} x_C=\frac{x_A+x_D}{2}\\ y_C=\frac{y_A+y_D}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4=\frac{2+x_D}{2}\\ 1=\frac{3+y_D}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_D=6\\ y_D=-1\end{matrix}\right.\)
c. Đặt $H(x_h,y_h)$
$\overrightarrow{AH}=(x_h-2,y_h-3)$
Vì \(\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BC}\Rightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\)
\(\Leftrightarrow 5(x_h-2)+3(y_h-3)=0(1)\)
$H\in BC$ nghĩa là $H,B,C$ thẳng hàng. Do đó tồn tại số thực $k\neq 0$ sao cho:
\(\overrightarrow{BH}=k\overrightarrow{BC}\)
\(\Leftrightarrow (x_h+1,y_h+2)=k(5,3)\)
\(\Rightarrow \frac{x_h+1}{5}=\frac{y_h+2}{3}(2)\)
Từ $(1);(2)\Rightarrow x_h=\frac{58}{17}; y_h=\frac{11}{17}$
