Question

cho pt \(x^2-\left(2m-3\right)x+m^2-3m=0\)

a/ xác định m để pt có 2 nghiệm thỏa: 1<x₁<x₂<6

b/ tìm hệ thức độc lập với m của x₁, x₂

c/ tìm min của A = x₂³ - x₁³ với x₁ < x₂

Answer 1

Lời giải:

a) Để PT có hai nghiệm pb thì \(\Delta=(2m-3)^2-4(m^2-3m)>0\)

\(\Leftrightarrow 9>0\) (luôn đúng với mọi \(m\in\mathbb{R}\) )

Ta có PT tương đương \((x-m)(x-m+3)=0\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}x_1=m-3\\x_2=m\end{matrix}\right.\). Để hai nghiệm thuộc khoảng \((1,6)\) thì :

\(1< m,m-3<6\Rightarrow 4< m<6\)

b) Từ phần a) suy ra hệ thức độc lập là \(x_1-x_2=-3\)

c) \(A=x_2^3-x_1^3=m^3-(m-3)^3=9m^2-27m+27=9(m-\frac{3}{2})^2+\frac{27}{4}\geq \frac{27}{4}\)

Do đó \(A_{\min}=\frac{27}{4}\Leftrightarrow m=\frac{3}{2}\)