Question

1)cho pt \(x^2-2\left(m-1\right)x+2m-5=0\)

a) tìm m để pt có nghiệm dương

b)gọi x1,x2 là 2 nghiệm của pt.tìm m nguyên dương để A=\(\left(\frac{x1}{x2}\right)^2+\left(\frac{x2}{x1}\right)^2\) có giá trị nguyên

2) Giải phương trình sau: \(\frac{1}{\left(x-1\right)^2}+\sqrt{3x+1}=\frac{1}{x^2}+\sqrt{x+2}\)

3) tìm cặp (x,y) nguyên sao cho x<y và \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2012}\)

4)có hay ko số tự nhiên n thỏa \(2012+n^2\) là số chính phương .tìm n

Answer 1

câu 2:DKXĐ: x \(\ge\)\(\frac{-1}{3}\);\(x\ne0\);1

PT\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(x-1\right)^2}-\frac{1}{x^2}=\sqrt{x+2}-\sqrt{3x+1}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2-\left(x^2-2x+1\right)}{x^2\left(x-1\right)^2}=\frac{x+2-3x-1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-1}}\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)\left(\frac{1}{x^2\left(x-1\right)^2}+\frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{3x+1}}\right)=0\)

vì \(\frac{1}{x^2\left(x-1\right)^2}+\frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{3x+1}}\ne0\)nên pt có nghiệm x= \(\frac{1}{2}\)

Answer 2

giả sử có tồn tại số TN n để \(2012+n^2\)là SCP

đặt \(2012+n^2=m^2\Leftrightarrow\left(m+n\right)\left(m-n\right)=2012\)(m thuộc Z)

m+n>m-n .ta có bảng:

m+n	2012	1006	503	-1	-2	-4
m-n	1	2	4	-2012	-1006	-503
m	..	..	..	..	..	..
n	..	..	..	..	..	..

giải bảng trên kết hợp với Đk n là số TN, ta thu được n=502 khi m=504 hoặc -504

Answer 3

câu 3:

\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2012}=2\sqrt{503}\)(ĐK:\(x,y\ge0\))

vì x,y nguyên mà \(2\sqrt{503}\)là số vô tỉ nên \(\sqrt{x};\sqrt{y}\)chỉ tách được thành tổng 2 căn thức có phần dưới căn là 503 (tức chỉ có thể tách thành \(1\sqrt{503}+1\sqrt{503}=2\sqrt{503}\)

hay \(0.\sqrt{503}+2\sqrt{503}=2\sqrt{503}\))(x,y >=0)

mà theo đề bài x<y => x=0,y=\(\sqrt{y}=2\sqrt{503}\Rightarrow y=2012\)

Answer 4

\(\left(x;y\right)->\left(a;c\right)\)

\(\text{Đ}K:a;c\ge0\)

\(\sqrt{a}+\sqrt{c}=\sqrt{2012}\Rightarrow c< 2012\left(1\right);\sqrt{a}+\sqrt{c}=\sqrt{2012}\Rightarrow\sqrt{a}=\sqrt{2012}-\sqrt{c}\Rightarrow a=2012+c-2\sqrt{2012c};ma:a;2012+c\in Z\Rightarrow2\sqrt{2012c}\in Z\Rightarrow8048c=k^2\left(k\in N\right);8048c=4^2.503c=k^2\Rightarrow c=503n^2\left(n\in N\right)\Rightarrow n=0hoac1hoac2\left(vi\left(1\right)\right)\) \(+,n=0\Rightarrow c=0\Rightarrow a=2012\left(loai:a< c\right)\)

\(+,n=1\Rightarrow a=1509;c=503\left(loai:a< c\right)\)

\(+,n=2\Rightarrow c=2012;a=0\left(tm\right)\)