Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Quốc Bảo

Cho \(\left\{\begin{matrix}a,b,c>0\\a+b+c=1\end{matrix}\right.\) Tìm GTLN của \(S=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\)

Akai Haruma
1 tháng 2 2017 lúc 16:39

Bài của bạn @Nguyễn Nhật Minh vì áp dụng AM-GM sai nên sai rồi nhé.

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(S^2=(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})^2\leq (a+b+b+c+c+a)(1+1+1)\)

\(\Leftrightarrow S^2\leq 6(a+b+c)=6\Rightarrow S\leq \sqrt{6}\)

Vậy \(S_{\max}=\sqrt{6}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

Kuro Kazuya
1 tháng 2 2017 lúc 5:39

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 bộ số thực không âm

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\sqrt{a+b}\le\frac{a+b}{2}\\\sqrt{b+c}\le\frac{b+c}{2}\\\sqrt{a+c}\le\frac{c+a}{2}\end{matrix}\right.\)

Cộng theo từng vế:

\(\Rightarrow\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\le\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}\)

\(\Rightarrow\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\le\frac{2\left(a+b+c\right)}{2}\)

Ta có : \(a+b+c=1\)

\(\Rightarrow\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\le1\)

Vậy GTLN của \(S=1\)

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{18}\)


Các câu hỏi tương tự
michelle holder
Xem chi tiết
ʚĭɞ Thị Quyên ʚĭɞ
Xem chi tiết
michelle holder
Xem chi tiết
Ngọc Hiền
Xem chi tiết
lê thị tiều thư
Xem chi tiết
lê thị tiều thư
Xem chi tiết
Như
Xem chi tiết
lê thị tiều thư
Xem chi tiết
lê thị tiều thư
Xem chi tiết