\(sin^2C\cdot cos^2C=\left(\dfrac{AB}{BC}\right)^2\cdot\left(\dfrac{AC}{BC}\right)^2=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}\cdot\dfrac{AB\cdot AC}{BC}\)
\(=\dfrac{AH\cdot BC}{BC}\cdot\dfrac{AH\cdot BC}{BC}=AH^2\)
Xét ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao
nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao
nên \(AF\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)
=>\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)
Xét ΔAEF vuông tại A và ΔACB vuông tại A có
\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)
Do đó: ΔAEF~ΔACB
=>\(\dfrac{S_{AEF}}{S_{ACB}}=\dfrac{AE}{AC}\cdot\dfrac{AF}{AB}=\dfrac{AH^2}{AB\cdot AC}\cdot\dfrac{AH^2}{AC\cdot AB}\)
\(=\dfrac{AH^2}{AH\cdot BC}\cdot\dfrac{AH^2}{AH\cdot BC}=AH^2\)
Do đó: \(\dfrac{S_{AEF}}{S_{ACB}}=cos^2C\cdot sin^2C\)
=>\(S_{AEF}=S_{ABC}\cdot sin^2C\cdot cos^2C\)
