Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Ẩn danh
Cho a và b là các số dương, chứng tỏ: \(\left(a+b\right).\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge4\)
Nguyễn Hữu Phước
20 tháng 7 lúc 14:31

\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)=a\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)+b\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)

\(=\dfrac{a}{a}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{b}=1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+1\)

\(=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+2\)

Vì a,b là các số dương \(\Rightarrow\dfrac{a}{b}>0,\dfrac{b}{a}>0\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho \(\dfrac{a}{b}\) và \(\dfrac{b}{a}\) có:

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{b}{a}}=2\sqrt{1}=2\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+2\ge2+2=4\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{a}\Leftrightarrow a=b\)

Vậy \(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge4\Leftrightarrow a=b\)

Trần Tuấn Hoàng
20 tháng 7 lúc 15:52

Cách khác:

\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)^2}{ab}\ge4\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\)

Bất đẳng thức cuối đúng do a,b>0. Vậy ta có đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi a=b>0.


Các câu hỏi tương tự
Lil Shroud
Xem chi tiết
Lizy
Xem chi tiết
Lê Đức Lương
Xem chi tiết
Hoàng Anh Thắng
Xem chi tiết
Rhider
Xem chi tiết
chuche
Xem chi tiết
Nguyễn Tuấn Anh
Xem chi tiết
Rhider
Xem chi tiết
Nguyễn Minh Anh
Xem chi tiết
๖²⁴ʱ乂ų✌й๏✌ρɾ๏༉
Xem chi tiết