Question

Cho 2 dãy số sắp thứ tự: \(a\ge b\ge c\) và \(x\le y\le z\)

CM bđt: \(\left(a+b+c\right)\left(x+y+z\right)\ge3\left(ax+by+cz\right)\)

Answer 1

Xét hiệu:

(a + b + c)(x + y + z) - 3(ax + by + cz)

= a(x + y + z) - 3ax + b(x + y + z) - 3by + c(x + y + z) - 3cz

= a(x + y + z - 3x) + b(x + y + z - 3y) + c(x + y + z - 3z)

= a(y + z - 2x) + b(x + z - 2y) + c(x + y - 2z)

= a[(y - x) - (x - z)] + b[(z - y) - (y - x)] + c[(x - z) - (z - y)]

= (y - x)(a - b) + (x - z)(c - a) + (z - y)(b - c) \(\ge0\)

do \(a\ge b\ge c\) và \(x\le y\le z\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(x+y+z\right)\ge3\left(ax+by+cz\right)\left(đpcm\right)\)

Answer 2

thêm một chút nhé

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

a=b=c và x=y=z