Question

Bài 3. (4 điểm) Cho đường tròn \((O,R)\) và điểm \(M\ (OM > R)\). Vẽ hai tiếp tuyến \(MA, MB\) với đường tròn \((O)\ (A, B\ \text{là các tiếp điểm})\). Nối \(OM\) cắt đoạn thẳng \(AB\) tại điểm \(H\).
a) Chứng minh bốn điểm \(M, A, O, B\) cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh \(OM \perp AB\) và \(OH \cdot OM = R^2\).
c) (\(+\ \text{Điểm + học tốt}\)) Vẽ đường kính \(AC\) của đường tròn \((O)\) đường thẳng vuông góc với \(AC\) tại \(O\) lần lượt cắt các đường thẳng \(BC\) và \(MB\) theo thứ tự tại các điểm \(K\) và \(N\). Hai đường thẳng \(MK\) và \(OB\) cắt nhau tại điểm \(Q\). Chứng minh \(QN \perp MO\).

Answer 1

a: Xét tứ giác OAMB có \(\hat{OAM}+\hat{OBM}=90^0+90^0=180^0\)

nên OAMB là tứ giác nội tiếp

=>O,A,M,B cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1),(2) suy ra MO là đường trung trực của AB

=>MO⊥AB tại H và H là trung điểm của AB

Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao

nên \(OH\cdot OM=OA^2=R^2\)