1. Cho △ABC có \(AB=6cm,AC=9cm,BC=7,5cm\). Đường phân giác trong và ngoài của  cắt BC lần lượt ở D và E. Tính BD, BE, ED ?
2. Cho △ABC, trung tuyến AM. Đường phân giác của \(\widehat{AMB}\) cắt AB ở D, đường phân giác của \(\widehat{AMC}\) cắt AC ở E. Gọi I là giao điểm của IE và AM.
a) CMR: DE//BC
b) CMR: I là trung điểm của DE
3. Cho △ABC vuông ở A, biết \(AB=20cm,AC=21cm\)
a) Tính BC?
b) Đường phân giác của  cắt BC ở D. Tính DB, DC?
c) Qua D kẻ đường thẳng // AC cắt AB tại E. Qua D kẻ đường thẳng // AB cắt AC tại F. Tứ giác AEDF là hình gì? Tính diện tích của tứ giác đó.
4. Cho △ABC có chu vi 27cm, BC là cạnh lớn nhất của △. Đường phân giác của \(\widehat{C}\) chia AB thành 2 đoạn tỉ lệ với \(\frac{1}{2}\). Đường phân giác của \(\widehat{C}\) chia AB thành 2 đoạn tỉ lệ với \(\frac{3}{4}\). Tính độ dài các cạnh của △ABC.
*Lưu ý: Có vẽ hình và khi chứng minh cần có dấu hiệu trong( ... ). Vd: tam giác ABC cân ⇒ AB=AC (tính chất tam giác cân)
Bài 3 :
a, - Áp dụng định lý pi - ta - go vào tam giác ABC vuông tại A có :
\(AB^2+AC^2=BC^2\)
=> \(BC^2=841\)
=> \(BC=29\)
b, - Xét \(\Delta ABC\) có : AD là đường phân giác của BC ( \(D\in BC\) )
=> \(\frac{DB}{AB}=\frac{DC}{AC}\) ( Tính chất đường phân giác trong tam giác )
- Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{DB}{AB}=\frac{DC}{AC}=\frac{DB}{20}=\frac{DC}{21}=\frac{BD+DC}{20+21}=\frac{BC}{20+21}=\frac{29}{41}\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{DB}{20}=\frac{29}{41}\\\frac{DC}{21}=\frac{29}{41}\end{matrix}\right.\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}BD=\frac{580}{41}\left(cm\right)\\DC=\frac{609}{41}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)
c, Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}DE//AB\\DF//AC\end{matrix}\right.\)
Mà \(\widehat{E_1}\) và \(\widehat{EAC}\), \(\widehat{F_2}\) và \(\widehat{EAC}\) ở vị trí đồng vị .
=> \(\widehat{E_1}\) = \(\widehat{EAC}\), \(\widehat{F_2}\) = \(\widehat{EAC}\)
Mà \(\widehat{AEC}=90^o\) ( tam giác ABC vuông tại A )
=> \(\widehat{E_1}=\widehat{F_2}=90^o\)
- Xét tứ giác AEDF có : \(\widehat{E_1}=\widehat{F_2}=\widehat{EAC}=90^o\)
=> Tứ giác AEDF là hình chữ nhật .
1/ ta có: AD là đường phân giác góc trog của tam giác ABC
=> \(\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}\)\(\Leftrightarrow\frac{BD}{BC}=\frac{AB}{AB+AC}\Leftrightarrow\frac{BD}{7,5}=\frac{6}{9+6}\)(theo tính chất đường phân giác góc trong)
\(\Leftrightarrow BD=3\)(cm)
ta lại có: AE là phân giác góc ngoài của góc BAC
=> \(\frac{EB}{EC}=\frac{AB}{AC}\Leftrightarrow\frac{EB}{EC-EB}=\frac{AB}{AC-AB}\)
\(\Leftrightarrow\frac{EB}{BC}=\frac{AB}{AC-AB}\Leftrightarrow\frac{EB}{7,5}=\frac{6}{3}\)
\(\Leftrightarrow EB=15\)(cm)
=> ED=EB+BD=15+3=18(cm)
2/a/ tam giác AMC có EM là phân giác \(\widehat{AMC}\)
\(\Rightarrow\frac{AM}{CM}=\frac{AE}{EC}\)(1)
Chứng minh tương tự ta có: \(\frac{AM}{MB}=\frac{AD}{BD}\)(2)
từ (1) và(2) ta có: \(\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}\)(=AM/MB do M là trung điểm của BC)
=> ED//BC( theo định lý ta-lét đảo)
(đpcm)
b/
theo phần a ta có: ED//BC=>\(\widehat{DEM}=\widehat{EMC}\)( 2 góc so le trong)
mà góc AME= góc CME( do ME là phân giác \(\widehat{AMC}\))
=> \(\widehat{DEM}=\widehat{AME}\) hay \(\widehat{IEM}=\widehat{IME}\)
=> tam giác IME cân tại I
=> IE=IM(*)
chứng minh tương tự : ID=IM(2*)
từ (*) và (2*) ta có IE=ID=> I là trung điểm của ED (đpcm)
