Ta có: \(\sqrt[3]{a^3+a+\frac13\cdot\sqrt{27a^4+6a^2+\frac13}}\)
\(=\sqrt[3]{a^3+a+\frac13\cdot\sqrt{\frac{81a^4+18a^2+1}{3}}}=\sqrt[3]{a^3+a+\frac13\cdot\sqrt{\frac{\left(9a^2+1\right)^2}{3}}}\)
\(=\sqrt[3]{a^3+a+\frac13\cdot\frac{9a^2+1}{\sqrt3}}=\sqrt[3]{a^3+a+\frac{9a^2+1}{3\sqrt3}}=\sqrt[3]{a^3+a+\sqrt3\cdot a^2+\frac{1}{3\sqrt3}}\)
\(=\sqrt[3]{a^3+3\cdot a^2\cdot\frac{1}{\sqrt3}+3\cdot a\cdot\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^3}\)
\(=\sqrt[3]{\left(a+\frac{1}{\sqrt3}\right)^3}=a+\frac{1}{\sqrt3}\)
Ta có: \(\sqrt[3]{a^3+a-\frac13\cdot\sqrt{27a^4+6a^2+\frac13}}\)
\(=\sqrt[3]{a^3+a-\frac13\cdot\sqrt{\frac{81a^4+18a^2+1}{3}}}=\sqrt[3]{a^3+a-\frac13\cdot\sqrt{\frac{\left(9a^2+1\right)^2}{3}}}\)
\(=\sqrt[3]{a^3+a-\frac13\cdot\frac{9a^2+1}{\sqrt3}}=\sqrt[3]{a^3+a-\frac{9a^2+1}{3\sqrt3}}=\sqrt[3]{a^3+a-\sqrt3\cdot a^2-\frac{1}{3\sqrt3}}\)
\(=\sqrt[3]{a^3-3\cdot a^2\cdot\frac{1}{\sqrt3}+3\cdot a\cdot\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^2-\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^3}\)
\(=\sqrt[3]{\left(a-\frac{1}{\sqrt3}\right)^3}=a-\frac{1}{\sqrt3}\)
Ta có: \(\sqrt[3]{a^3+a+\frac13\cdot\sqrt{27a^4+6a^2+\frac13}}+\sqrt[3]{a^3+a-\frac13\cdot\sqrt{27a^4+6a^2+\frac13}}\)
\(=a+\frac{1}{\sqrt3}+a-\frac{1}{\sqrt3}=2a\)
