1: Xét tứ giác CDHE có \(\hat{CDH}+\hat{CEH}=90^0+90^0=180^0\)
nên CDHE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính CH
=>Tâm là trung điểm của CH
2: Xét tứ giác BFHD có \(\hat{BFH}+\hat{BDH}=90^0+90^0=180^0\)
nên BFHD là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác AFHE có \(\hat{AFH}+\hat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)
nên AEHF là tứ giác nội tiếp
Ta có: \(\hat{HFE}=\hat{HAE}\) (AEHF nội tiếp)
\(\hat{HFD}=\hat{HBD}\) (BFHD nội tiếp)
mà \(\hat{HAE}=\hat{HBD}\left(=90^0-\hat{ACB}\right)\)
nên \(\hat{HFE}=\hat{HFD}\)
=>FH là phân giác của góc EFD
Ta có: \(\hat{FEH}=\hat{FAH}\) (AEHF nội tiếp)
\(\hat{DEH}=\hat{DCH}\) (CEHD nội tiếp)
mà \(\hat{FAH}=\hat{DCH}\left(=90^0-\hat{ABC}\right)\)
nên \(\hat{FEH}=\hat{DEH}\)
=>EH là phân giác của góc FED
Xét ΔFED có
EH,FH là các đường phân giác
EH cắt FH tại H
Do đó: H là tâm đường tròn nội tiếp ΔFED
3: Gọi Ax là tiếp tuyến tại A của (O)
=>OA⊥ Ax tại A
Xét (O) có
\(\hat{xAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AC
\(\hat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
Do đó: \(\hat{xAC}=\hat{ABC}\left(1\right)\)
Xét tứ giác BFEC có \(\hat{BFC}=\hat{BEC}=90^0\)
nên BFEC là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{FEC}+\hat{FBC}=180^0\)
mà \(\hat{FEC}+\hat{AEF}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{AEF}=\hat{ABC}\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(\hat{xAC}=\hat{AEF}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên Ax//FE
mà OA⊥ Ax
nên OA⊥EF
