Question

Câu 1. Cho hai biểu thức \( P = \frac{9\sqrt{x}}{x-16} \) và \( Q = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 2} - \frac{5\sqrt{x} - 8}{x - 2\sqrt{x}} \) với \( x > 0; x \neq 4; x \neq 16 \).

1) Tính giá trị của biểu thức \( P \) khi \( x = 1 \)

2) Chứng minh \( Q = \frac{\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x}} \)

3) Xét biểu thức \( A = P \cdot Q \). Tìm các số thực \( x \) để biểu thức \( A \) nhận các giá trị là số nguyên.

Answer 1

`#1149`

`1)`

Thay `x = 1` vào P:

`P = (9\sqrt{1})/(1 - 16) = 9/(-15) = -9/15 = -3/5`

Vậy, với `x = 1` thì `P = -3/5`

`2)`

\(Q=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{5\sqrt{x}-8}{x-2\sqrt{x}}\left(x>0;x\ne4;16\right)\\ =\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}-\dfrac{5\sqrt{x}-8}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\\ =\dfrac{x-\sqrt{x}-5\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\\ =\dfrac{x-6\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\\ =\dfrac{\left(\sqrt{x}-4\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\\ =\dfrac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}}\)

`3)`

\(A=P\cdot Q=\dfrac{9\sqrt{x}}{x-16}\cdot\dfrac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}}=\dfrac{9}{\sqrt{x}+4}\)

Để `A` nguyên:

`9/(\sqrt{x} + 4) \in ZZ`

Do đó `9 \vdots (\sqrt{x} - 4)` hay `\sqrt{x} - 4 \in \text{Ư(9) = {+-1; +-3; +-9}}`

Suy ra: `\sqrt{x} \in {1; 3; 5; 7; 13}`

`x \in {1; 9; 25; 49; 169}.`