1: Xét (O) có
ΔAEB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAEB vuông tại E
=>EA\(\perp\)EB tại E
Xét tứ giác BEGH có \(\widehat{BEG}+\widehat{BHG}=90^0+90^0=180^0\)
nên BEGH là tứ giác nội tiếp
2: Vì C,E,B,D cùng thuộc (O)
nên CEBD là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{CEB}+\widehat{CDB}=180^0\)
mà \(\widehat{CEB}+\widehat{KEC}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{KEC}=\widehat{KDB}\)
Xét ΔKEC và ΔKDB có
\(\widehat{KEC}=\widehat{KDB}\)
\(\widehat{EKC}\) chung
Do đó: ΔKEC~ΔKDB
=>\(\dfrac{KE}{KD}=\dfrac{KC}{KB}\)
=>\(KE\cdot KB=KC\cdot KD\)
3: Xét (O) có
ΔBFA nội tiếp
BA là đường kính
Do đó: ΔBFA vuông tại F
=>BF\(\perp\)KA tại F
Xétr ΔKAB có
AE,KH là các đường cao
AE cắt KH tại G
Do đó: G là trực tâm của ΔKAB
=>BG\(\perp\)AK
mà BF\(\perp\)AK
và BG,BF có điểm chung là B
nên B,G,F thẳng hàng
Xét tứ giác AFGH có \(\widehat{AFG}+\widehat{AHG}=90^0+90^0=180^0\)
nên AFGH là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác KFGE có \(\widehat{KFG}+\widehat{KEG}=90^0+90^0=180^0\)
nên KFGE là tứ giác nội tiếp
Ta có: \(\widehat{GFE}=\widehat{GKE}\)(KFGE nội tiếp)
\(\widehat{HFG}=\widehat{HAG}\)(AFGH nội tiếp)
mà \(\widehat{GKE}=\widehat{HAG}\left(=90^0-\widehat{KBA}\right)\)
nên \(\widehat{GFE}=\widehat{HFG}\)
=>FG là phân giác của góc EFH
Ta có: \(\widehat{FEG}=\widehat{FKG}\)(FKEG nội tiếp)
\(\widehat{HEG}=\widehat{HBG}\)(GEBH nội tiếp)
mà \(\widehat{FKG}=\widehat{HBG}\left(=90^0-\widehat{KAB}\right)\)
nên \(\widehat{FEG}=\widehat{HEG}\)
=>EG là phân giác của góc FEH
Xét ΔFEH có
EG,FG là các đường phân giác
EG cắt FG tại G
Do đó: G là tâm đường tròn nội tiếp ΔFEH
