Question

Bài 3: Từ điểm \( A \) nằm ngoài đường tròn \((O; R)\), vẽ hai tiếp tuyến \( AB \) và \( AC \) \( (B \) và \( C \) là hai tiếp điểm\). Vẽ đường kính \( BD \) của \((O)\), \( AO \) và \( BC \) cắt nhau tại \( H \). Gọi \( K \) là hình chiếu của điểm \( C \) trên \( BD \), gọi \( I \) là giao điểm của \( CK \) và \( AD \).

a) Chứng minh tứ giác \( ABOC \) nội tiếp và \( AO \perp BC \) tại \( H \).

b) Chứng minh \( DC // AO \) và \( I \) là trung điểm của \( CK \).

c) Hai đường thẳng \( BD \) và \( AC \) cắt nhau tại \( S \). Tia \( SI \) cắt \( AB \) tại \( M \). Giả sử \( OA = 2R \). Hãy tính diện tích của tứ giác \( AMOC \) theo \( R \).

Answer 1

a: Xét tứ giác ABOC có \(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)

nên ABOC là tứ giác nội tiếp

Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC

b: Xét (O) có

ΔBCD nội tiếp

BD là đường kính

Do đó: ΔBCD vuông tại C

=>BC\(\perp\)CD
mà OA\(\perp\)BC

nên OA//CD
Gọi E là giao điểm của DC và BA

ΔBCD vuông tại C

=>BC\(\perp\)CD tại C

=>BC\(\perp\)DE tại C

=>ΔBCE vuông tại C

Ta có: \(\widehat{ACE}+\widehat{ACB}=\widehat{BCE}=90^0\)

\(\widehat{AEC}+\widehat{ABC}=90^0\)

mà \(\widehat{ACB}=\widehat{ABC}\)(ΔABC cân tại A)

nên \(\widehat{ACE}=\widehat{AEC}\)

=>AE=AC

mà AB=AC

nên AB=AE(3)

Ta có: CK\(\perp\)BD

BE\(\perp\)BD

Do đó: CK//BE

Xét ΔDAB có KI//AB

nên \(\dfrac{KI}{AB}=\dfrac{DI}{DA}\left(4\right)\)

Xét ΔDAE có IC//AE
nên \(\dfrac{IC}{AE}=\dfrac{DI}{DA}\left(5\right)\)

Từ (3),(4),(5) suy ra KI=IC

=>I là trung điểm của KC