Câu 6 (2,5 điểm). Cho đường tròn tâm \( O \) và điểm \( M \) nằm bên ngoài đường tròn. Từ \( M \) vẽ hai tiếp tuyến \( MA, MB \) với đường tròn ( \( A, B \) là hai tiếp điểm). Tia \( MO \) cắt đường tròn tâm \( O \) tại hai điểm phân biệt \( C \) và \( D \) sao cho \( C \) nằm giữa \( M \) và \( O \). Tia \( MO \) cắt đoạn thẳng \( AB \) tại \( H \).
a) Chứng minh: \( \Delta AMB \) là tam giác cân và \( MO \) vuông góc với \( AB \).
b) Chứng minh \( \widehat{MAC} = \widehat{CDA} \)
c) Vẽ đường kính \( AE \) của đường tròn \( (O) \). Kẻ \( BF \) vuông góc với \( AE \) tại \( F \) ( \( F \) thuộc \( AE \) ), \( I \) là giao điểm của \( ME \) và \( BF \). Chứng minh \( I \) là trung điểm của \( BF \).
a: Xét (O) có
MA,MB là các tiếp tuyến
Do đó: MA=MB
=>ΔMAB cân tại M
Ta có: MA=MB
=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)
Ta có: OA=OB
=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1),(2) suy ra MO là đường trung trực của AB
=>MO⊥AB
b: Xét (O) có
\(\hat{MAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AM và dây cung AC
\(\hat{ADC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
Do đó: \(\hat{MAC}=\hat{ADC}\)
c: Gọi G là giao điểm của BE và AM
Xét (O) có
ΔABE nội tiếp
AE là đường kính
Do đó: ΔABE vuông tại B
=>AB⊥BG tại B
=>ΔABG vuông tại B
Ta có: \(\hat{MAB}+\hat{MGB}=90^0\) (ΔABG vuông tại B)
\(\hat{MBA}+\hat{MBG}=\hat{ABG}=90^0\)
mà \(\hat{MAB}=\hat{MBA}\) (ΔMAB cân tại M)
nên \(\hat{MGB}=\hat{MBG}\)
=>MG=MB
mà MA=MB
nên MA=MG(3)
Ta có: BF⊥AE
MA⊥EA
Do đó: BF//AG
Xét ΔEAM có FI//AM
nên \(\frac{FI}{AM}=\frac{EI}{EM}\left(4\right)\)
Xét ΔEMG có IB//MG
nên \(\frac{IB}{MG}=\frac{EI}{EM}\left(5\right)\)
Từ (3),(4),(5) suy ra FI=IB
=>I là trung điểm của FB
