Bài 2: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB cố định. Gọi H là điểm bất kỳ thuộc đoạn OA (H khác O và A). Vẽ dây CD vuông góc với AB tại H. Gọi M là điểm bất kỳ thuộc đoạn CH. Nối AM cắt (O) tại điểm thứ hai là E, tia BE cắt tia DC tại F.
1) Chứng minh bốn điểm H, M, E, B cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh \( AC^2 = AM \cdot AE \).
3) Kẻ Ex là tia đối của tia ED. Chứng minh \( \widehat{FEx} = \widehat{FEC} \) và \( MC \cdot FD = FC \cdot MD \).
4) Tìm vị trí của điểm H trên đoạn OA để chu vi \(\triangle OCH\) lớn nhất.
1; Xét (O) có
ΔAEB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAEB vuông tại E
=>AE\(\perp\)BF tại E
Xét tứ giác HMEB có \(\widehat{MHB}+\widehat{MEB}=90^0+90^0=180^0\)
nên HMEB là tứ giác nội tiếp
=>H,M,E,B cùng thuộc một đường tròn
2: Xét ΔAHM vuông tại H và ΔAEB vuông tại E có
\(\widehat{HAM}\) chung
Do đó: ΔAHM~ΔAEB
=>\(\dfrac{AH}{AE}=\dfrac{AM}{AB}\)
=>\(AE\cdot AM=AH\cdot AB\)(1)
Xét (O) có
ΔACB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔACB vuông tại C
Xét ΔACB vuông tại C có CH là đường cao
nên \(AH\cdot AB=AC^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AC^2=AM\cdot AE\)
