Question

Bài 13. Cho đường tròn tâm \( I \) nội tiếp tam giác \( ABC \) tiếp xúc với \( AB, AC \) lần lượt tại \( F \) và \( E \). Kẻ \( CK \) vuông góc với \( BI \). Chứng minh rằng:

1. Tứ giác \( AEIF \) là tứ giác nội tiếp.

2. \(\angle AIF = \angle KIC\).

3. Ba điểm \( F, E, K \) thẳng hàng.

Answer 1

1:

(I) là đường tròn nội tiếp ΔABC

=>I là giao điểm của ba đường phân giác của ΔABC

=>AI là phân giác của góc BAC, BI là phân giác của góc ABC, CI là phân giác của góc ACB

(I) tiếp xúc với AB,AC lần lượt tại F,E

=>IF\(\perp\)AB tại F; IE\(\perp\)AC tại E

Xét tứ giác AEIF có \(\widehat{AEI}+\widehat{AFI}=90^0+90^0=180^0\)

nên AEIF là tứ giác nội tiếp

2: Xét ΔIBC có \(\widehat{KIC}\) là góc ngoài tại đỉnh I

nên \(\widehat{KIC}=\widehat{IBC}+\widehat{ICB}=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}\right)\)(1)

Ta có: ΔAFI vuông tại F

=>\(\widehat{FAI}+\widehat{FIA}=90^0\)

=>\(\widehat{FIA}=90^0-\widehat{FAI}=\dfrac{180^0-\widehat{BAC}}{2}=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}\right)\)(2)

Từ (1),(2) suy ra \(\widehat{KIC}=\widehat{FIA}\)

3: Xét tứ giác KICE có \(\widehat{IKC}=\widehat{IEC}=90^0\)

nên KICE là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{KIC}+\widehat{KEC}=180^0\)

mà \(\widehat{KEC}+\widehat{AEK}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{KIC}=\widehat{AEK}\)

=>\(\widehat{AEK}=\widehat{FIA}=\widehat{AEF}\)

mà EF,EK có điểm chung là E

nên E,F,K thẳng hàng