Question

Bài 3. (1,5 điểm) Cho tam giác \( ABC \) có \( AB = 4 \, \text{cm}, \, AC = 5 \, \text{cm}, \, BC = 6 \, \text{cm} \). Các đường phân giác \( BD \) và \( CE \) cắt nhau tại \( I \).

a) Tính \( AD, DC \).

b) Tính các tỉ số \( \frac{DI}{DB}; \frac{BE}{BA}; \frac{AD}{AC} \).

c) Tính tỉ số diện tích các tam giác \( DIE \) và \( ABC \).

Answer 1

a: Xét ΔBAC có BD là phân giác

nên \(\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}\)

=>\(\dfrac{DA}{2}=\dfrac{DC}{3}\)

mà DA+DC=AC=5cm

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{DA}{2}=\dfrac{DC}{3}=\dfrac{DA+DC}{2+3}=\dfrac{5}{5}=1\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}DA=1\cdot2=2\left(cm\right)\\DC=1\cdot3=3\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

b: Xét ΔCBD có CI là phân giác

nên \(\dfrac{DI}{IB}=\dfrac{CD}{CB}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\)

=>\(\dfrac{DI}{DB}=\dfrac{1}{3}\)

Xét ΔABC có CE là phân giác

nên \(\dfrac{BE}{AE}=\dfrac{BC}{CA}=\dfrac{6}{5}\)

=>\(\dfrac{BE}{AB}=\dfrac{6}{5+6}=\dfrac{6}{11}\)

\(\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{2}{5}\)

c: \(\dfrac{DI}{DB}=\dfrac{1}{3}\) nên \(\dfrac{S_{EDI}}{S_{EBD}}=\dfrac{DI}{DB}=\dfrac{1}{3}\)

\(\dfrac{BE}{BA}=\dfrac{6}{11}\) nên \(\dfrac{S_{BED}}{S_{BDA}}=\dfrac{BE}{BA}=\dfrac{6}{11}\)

=>\(S_{BED}=\dfrac{6}{11}\cdot S_{BDA}\)

=>\(S_{EDI}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{6}{11}\cdot S_{BDA}=\dfrac{2}{11}\cdot S_{BDA}\)

\(\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{2}{5}\) nên \(\dfrac{S_{ADB}}{S_{ABC}}=\dfrac{2}{5}\)

=>\(S_{EDI}=\dfrac{2}{11}\cdot\dfrac{2}{5}\cdot S_{ABC}=\dfrac{4}{55}\cdot S_{ABC}\)

=>\(\dfrac{S_{DIE}}{S_{ABC}}=\dfrac{4}{55}\)