Question

Bài 5. Cho đường tròn \((O; R)\) và dây cung \(CD\) cố định không đi qua tâm. Điểm \(M\) thuộc tia đối của tia \(CD\). Qua \(M\) kẻ hai tiếp tuyến \(MA, MB\) tới đường tròn \((A, B\) là tiếp điểm và \(A\) thuộc cung lớn \(\overset{\frown}{CD})\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(CD\). Nối \(BI\) cắt đường tròn tại \(E \ (E \neq B)\), nối \(OM\) cắt \(AB\) tại \(H\).

a) Chứng minh 5 điểm \(M, A, O, I, B\) cùng nằm trên một đường tròn;

b) Chứng minh \(AE\) song song \(CD\) và \(IO\) là phân giác của \(\angle EIA\);

c) Tìm vị trí của điểm \(M\) để \(MA\) vuông góc với \(MB\).

Answer 1

a: ΔOCD cân tại O

mà OI là đường trung tuyến

nên OI\(\perp\)CD tại I

ta có: \(\widehat{OIM}=\widehat{OBM}=\widehat{OAM}=90^0\)

=>O,I,M,A,B cùng thuộc đường tròn đường kính OM

b: Ta có: BIOM là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{BIM}=\widehat{BOM}\)(1)

Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: OM là phân giác của góc BOA

=>\(\widehat{BOM}=\widehat{AOM}\left(2\right)\)

Ta có: AMBO là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{AOM}=\widehat{ABM}\left(3\right)\)

Xét (O) có

\(\widehat{MBA}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BM và dây cung BA

\(\widehat{BEA}\) là góc nội tiếp chắn cung BA

Do đó: \(\widehat{MBA}=\widehat{BEA}\left(4\right)\)

Từ (1),(2),(3),(4) suy ra \(\widehat{BIM}=\widehat{BEA}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên IM//EA

=>DC//EA